次の条件を満たす整式 $f(x)$ のうち、次数が最も低いものを求めよ。 $\lim_{x \to -1} \frac{f(x)}{(x+1)^2} = -1$ $\lim_{x \to 3} \frac{f(x)}{x-3} = 3$

1. 問題の内容

次の条件を満たす整式 $f(x)$ のうち、次数が最も低いものを求めよ。

$\lim_{x \to -1} \frac{f(x)}{(x+1)^2} = -1$

$\lim_{x \to 3} \frac{f(x)}{x-3} = 3$

2. 解き方の手順

条件 $\lim_{x \to -1} \frac{f(x)}{(x+1)^2} = -1$ より、$f(x)$ は $x = -1$ で重根を持つことがわかる。したがって、$f(x) = (x+1)^2 g(x)$ と書ける。ただし、$g(x)$ は整式である。

このとき、

$\lim_{x \to -1} \frac{f(x)}{(x+1)^2} = \lim_{x \to -1} \frac{(x+1)^2 g(x)}{(x+1)^2} = \lim_{x \to -1} g(x) = g(-1) = -1$

したがって、$g(-1) = -1$ である。

また、条件 $\lim_{x \to 3} \frac{f(x)}{x-3} = 3$ より、$f(x)$ は $x = 3$ で $0$ になる。つまり、$f(3) = 0$ である。

$f(3) = (3+1)^2 g(3) = 16 g(3) = 0$ より、$g(3) = 0$ である。

$g(-1) = -1$ と $g(3) = 0$ を満たす最も次数の低い整式 $g(x)$ は、一次式である。したがって、$g(x) = ax + b$ とおく。

$g(-1) = -a + b = -1$

$g(3) = 3a + b = 0$

この連立方程式を解くと、

$4a = 1$ より $a = \frac{1}{4}$

$b = -3a = -\frac{3}{4}$

したがって、$g(x) = \frac{1}{4}x - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}(x-3)$ である。

よって、$f(x) = (x+1)^2 g(x) = (x+1)^2 \frac{1}{4}(x-3) = \frac{1}{4}(x+1)^2(x-3)$

展開すると、$f(x) = \frac{1}{4}(x^2 + 2x + 1)(x-3) = \frac{1}{4}(x^3 -3x^2 + 2x^2 -6x + x -3) = \frac{1}{4}(x^3 -x^2 -5x -3)$

$f(x) = \frac{1}{4}x^3 - \frac{1}{4}x^2 - \frac{5}{4}x - \frac{3}{4}$

3. 最終的な答え

$f(x) = \frac{1}{4}(x+1)^2(x-3) = \frac{1}{4}x^3 - \frac{1}{4}x^2 - \frac{5}{4}x - \frac{3}{4}$