関数 $y = -x^2 + 4x + 1$ の $-3 \le x \le 3$ における最大値と最小値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $y = -x^2 + 4x + 1$ の $-3 \le x \le 3$ における最大値と最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を平方完成します。

$y = -x^2 + 4x + 1 = -(x^2 - 4x) + 1 = -(x^2 - 4x + 4) + 4 + 1 = -(x - 2)^2 + 5$

したがって、この関数は $x = 2$ で最大値5をとる上に凸な放物線です。

次に、定義域 $-3 \le x \le 3$ における最大値と最小値を考えます。

頂点のx座標である $x = 2$ は定義域 $-3 \le x \le 3$ に含まれているので、 $x=2$ で最大値5をとります。

最小値を求めるために、定義域の端点である $x = -3$ と $x = 3$ における $y$ の値を計算します。

$x = -3$ のとき、$y = -(-3)^2 + 4(-3) + 1 = -9 - 12 + 1 = -20$

$x = 3$ のとき、$y = -(3)^2 + 4(3) + 1 = -9 + 12 + 1 = 4$

$x = -3$ で $y = -20$, $x=3$で$y=4$であるから、$x=-3$で最小値-20をとります。

3. 最終的な答え

最大値：5 ($x=2$ のとき)

最小値：-20 ($x=-3$ のとき)