縦$48m$、横$60m$の長方形の土地の周囲に、等間隔に杭を打って柵を作ります。四隅には必ず杭を打つものとし、杭の本数を最も少なくするには、何$m$間隔に杭を打てば良いでしょうか。また、その時に必要となる杭の本数を求めましょう。

1. 問題の内容

縦$48m$、横$60m$の長方形の土地の周囲に、等間隔に杭を打って柵を作ります。四隅には必ず杭を打つものとし、杭の本数を最も少なくするには、何$m$間隔に杭を打てば良いでしょうか。また、その時に必要となる杭の本数を求めましょう。

2. 解き方の手順

杭の間隔を最も大きくするには、杭の間隔が$48$と$60$の最大公約数になるようにします。

まず、$48$と$60$の最大公約数を求めます。

$48 = 2^4 \times 3$

$60 = 2^2 \times 3 \times 5$

したがって、$48$と$60$の最大公約数は$2^2 \times 3 = 12$です。

よって、杭を打つ間隔は$12m$です。

次に、杭の本数を求めます。

縦の辺には、$48 \div 12 = 4$間隔なので、杭は$4+1=5$本必要です。

横の辺には、$60 \div 12 = 5$間隔なので、杭は$5+1=6$本必要です。

ただし、四隅の杭は重複して数えているため、注意が必要です。

長方形の土地の周囲に必要な杭の本数は、$5+6+5+6 - 4 = 22-4=18$本です。

3. 最終的な答え

杭を打つ間隔は$12m$です。

必要な杭の本数は$18$本です。