二次関数 $y = 2x^2 - 8x + 6$ の $-1 \le x \le 1$ における最大値と最小値を求めよ。

1. 問題の内容

二次関数 $y = 2x^2 - 8x + 6$ の $-1 \le x \le 1$ における最大値と最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた二次関数を平方完成して、頂点の座標を求めます。

$y = 2x^2 - 8x + 6$

$y = 2(x^2 - 4x) + 6$

$y = 2(x^2 - 4x + 4 - 4) + 6$

$y = 2((x-2)^2 - 4) + 6$

$y = 2(x-2)^2 - 8 + 6$

$y = 2(x-2)^2 - 2$

したがって、頂点の座標は $(2, -2)$ です。

次に、定義域 $-1 \le x \le 1$ における $y$ の最大値と最小値を求めます。

頂点の $x$ 座標は $2$ なので、定義域に含まれていません。したがって、定義域の端点で最大値または最小値を取ります。

$x = -1$ のとき：

$y = 2(-1)^2 - 8(-1) + 6 = 2 + 8 + 6 = 16$

$x = 1$ のとき：

$y = 2(1)^2 - 8(1) + 6 = 2 - 8 + 6 = 0$

よって、定義域 $-1 \le x \le 1$ における最大値は $16$ ($x=-1$ のとき) であり、最小値は $0$ ($x=1$ のとき) です。

3. 最終的な答え

最大値：16 ($x = -1$ のとき)

最小値：0 ($x = 1$ のとき)