不等式 $\frac{1}{x-2} \leq \frac{2}{x+3}$ を解く問題です。

1. 問題の内容

不等式 $\frac{1}{x-2} \leq \frac{2}{x+3}$ を解く問題です。

2. 解き方の手順

まず、両辺から $\frac{2}{x+3}$ を引きます。

$\frac{1}{x-2} - \frac{2}{x+3} \leq 0$

次に、左辺を通分します。

$\frac{(x+3) - 2(x-2)}{(x-2)(x+3)} \leq 0$

分子を整理します。

$\frac{x+3 - 2x + 4}{(x-2)(x+3)} \leq 0$

$\frac{-x+7}{(x-2)(x+3)} \leq 0$

分子の符号を反転させます。（不等号の向きも反転します。）

$\frac{x-7}{(x-2)(x+3)} \geq 0$

数直線を書き、$x = -3$, $x = 2$, $x = 7$ で区切ります。それぞれの区間で$\frac{x-7}{(x-2)(x+3)}$ の符号を調べます。

* $x < -3$ のとき、$x-7 < 0$, $x-2 < 0$, $x+3 < 0$ なので、$\frac{x-7}{(x-2)(x+3)} < 0$

* $-3 < x < 2$ のとき、$x-7 < 0$, $x-2 < 0$, $x+3 > 0$ なので、$\frac{x-7}{(x-2)(x+3)} > 0$

* $2 < x < 7$ のとき、$x-7 < 0$, $x-2 > 0$, $x+3 > 0$ なので、$\frac{x-7}{(x-2)(x+3)} < 0$

* $x > 7$ のとき、$x-7 > 0$, $x-2 > 0$, $x+3 > 0$ なので、$\frac{x-7}{(x-2)(x+3)} > 0$

$\frac{x-7}{(x-2)(x+3)} \geq 0$ となる範囲は、$-3 < x < 2$ と $x \geq 7$ です。

ただし、$x = -3$ と $x = 2$ は分母を0にするので含まれません。

3. 最終的な答え

$-3 < x < 2$ または $x \geq 7$