関数 $y = -x^2 - 4x - 3$ の $-1 \le x \le 1$ における最大値と最小値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = -x^2 - 4x - 3$ の $-1 \le x \le 1$ における最大値と最小値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた二次関数を平方完成します。

$y = -x^2 - 4x - 3 = -(x^2 + 4x) - 3 = -(x^2 + 4x + 4 - 4) - 3 = -(x+2)^2 + 4 - 3 = -(x+2)^2 + 1$

したがって、関数は $y = -(x+2)^2 + 1$ と表せます。

これは、頂点が $(-2, 1)$ の上に凸の放物線です。

次に、定義域 $-1 \le x \le 1$ における関数の値を考えます。

頂点のx座標 $x = -2$ は定義域に含まれていないので、定義域の端点での値を調べます。

$x = -1$ のとき、

$y = -(-1)^2 - 4(-1) - 3 = -1 + 4 - 3 = 0$

$x = 1$ のとき、

$y = -(1)^2 - 4(1) - 3 = -1 - 4 - 3 = -8$

また、定義域内の $x$ の値で頂点に最も近いのは $x=-1$ です。

このとき、$y=0$ です。$x$ が頂点から離れるほど、$y$ は小さくなります。

したがって、$x=1$ の時に最小値を取り、$x=-1$の時に最大値を取ります。

3. 最終的な答え

最大値: 0 ($x = -1$ のとき)

最小値: -8 ($x = 1$ のとき)