実数 $x$ に対して、ガウス記号 $[x]$ は $x$ を超えない最大の整数を表す。例えば、$[3]=3$, $[3.14]=3$, $[-3.14]=-4$ である。方程式 $4x - 3[x] = 0$ の解の個数を求めよ。

1. 問題の内容

実数 $x$ に対して、ガウス記号 $[x]$ は $x$ を超えない最大の整数を表す。例えば、$[3]=3$, $[3.14]=3$, $[-3.14]=-4$ である。方程式 $4x - 3[x] = 0$ の解の個数を求めよ。

2. 解き方の手順

方程式 $4x - 3[x] = 0$ を変形すると、

$4x = 3[x]$

$x = \frac{3}{4} [x]$

ここで、$n = [x]$ とおくと、$x = \frac{3}{4}n$ となる。また、ガウス記号の定義より、$n \le x < n+1$ であるから、

$n \le \frac{3}{4}n < n+1$

$n \le \frac{3}{4}n$ より、$\frac{1}{4}n \le 0$ なので、$n \le 0$。

$\frac{3}{4}n < n+1$ より、$-\frac{1}{4}n < 1$ なので、$n > -4$。

したがって、$-3 \le n \le 0$ である。

$n = -3$ のとき、$x = \frac{3}{4}(-3) = -\frac{9}{4} = -2.25$。このとき、$[x] = [-2.25] = -3$ なので、解となる。

$n = -2$ のとき、$x = \frac{3}{4}(-2) = -\frac{6}{4} = -1.5$。このとき、$[x] = [-1.5] = -2$ なので、解となる。

$n = -1$ のとき、$x = \frac{3}{4}(-1) = -\frac{3}{4} = -0.75$。このとき、$[x] = [-0.75] = -1$ なので、解となる。

$n = 0$ のとき、$x = \frac{3}{4}(0) = 0$。このとき、$[x] = [0] = 0$ なので、解となる。

したがって、解は $x = -\frac{9}{4}, -\frac{6}{4}, -\frac{3}{4}, 0$ の4つである。

3. 最終的な答え

4個