$a, b, c$ はそれぞれ1桁の数である。3桁の数 $abc$ を7進法で表すと $abc_{(7)}$ になり、5進法で表すと $bca_{(5)}$ になる。この数を10進法で表すといくつになるか。

1. 問題の内容

$a, b, c$ はそれぞれ1桁の数である。3桁の数 $abc$ を7進法で表すと $abc_{(7)}$ になり、5進法で表すと $bca_{(5)}$ になる。この数を10進法で表すといくつになるか。

2. 解き方の手順

$abc_{(7)}$ を10進法で表すと、

$a \times 7^2 + b \times 7^1 + c \times 7^0 = 49a + 7b + c$

$bca_{(5)}$ を10進法で表すと、

$b \times 5^2 + c \times 5^1 + a \times 5^0 = 25b + 5c + a$

これらが等しいので、

$49a + 7b + c = 25b + 5c + a$

$48a = 18b + 4c$

$24a = 9b + 2c$

$a, b, c$ はそれぞれ1桁の数なので、 $0 \le a, b, c \le 6$ である。ただし、7進法で $abc$ と表せるので、$0 \le a,b,c \le 6$であり、5進法で $bca$ と表せるので、$0 \le a,b,c \le 4$ である。 また、$a,b$は0であってはならない。

$24a = 9b + 2c$ を満たす $a, b, c$ を探す。

もし $a=1$ のとき、$24 = 9b + 2c$ となる。

$b=2$ のとき、$24 = 18 + 2c$ より $2c = 6$ で $c=3$ となる。

よって、$a=1, b=2, c=3$ が解の1つである。

このとき、$abc$ は 10進法で、

$49a + 7b + c = 49(1) + 7(2) + 3 = 49 + 14 + 3 = 66$

$25b + 5c + a = 25(2) + 5(3) + 1 = 50 + 15 + 1 = 66$

$abc = 123$ となる。

3. 最終的な答え

66