1から4までの数字が書かれたカードが合計10枚ある。1のカードが4枚、2のカードが3枚、3のカードが2枚、4のカードが1枚。これらのカードの中から1枚ずつ元に戻さずに2枚続けて引くとき、偶数のカードを引く回数を確率変数Xとする。Xの確率分布を求める。

1. 問題の内容

1から4までの数字が書かれたカードが合計10枚ある。1のカードが4枚、2のカードが3枚、3のカードが2枚、4のカードが1枚。これらのカードの中から1枚ずつ元に戻さずに2枚続けて引くとき、偶数のカードを引く回数を確率変数Xとする。Xの確率分布を求める。

2. 解き方の手順

まず、偶数のカードを引く回数Xが取りうる値を考える。2枚引くので、Xは0, 1, 2のいずれかの値を取る。それぞれの確率を計算する。

* X = 0 (偶数のカードを一度も引かない)

これは、2枚とも奇数のカードを引く場合である。

1枚目に奇数のカードを引く確率は $\frac{4+2}{10} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$。

1枚目に奇数のカードを引いた後、残りの奇数のカードは5枚、残りのカードは9枚なので、2枚目に奇数のカードを引く確率は $\frac{5}{9}$。

したがって、X = 0となる確率は $P(X=0) = \frac{3}{5} \times \frac{5}{9} = \frac{15}{45} = \frac{1}{3}$。

* X = 1 (偶数のカードを1回だけ引く)

これは、1枚目に偶数を引いて2枚目に奇数を引く場合と、1枚目に奇数を引いて2枚目に偶数を引く場合がある。

1枚目に偶数を引く確率は $\frac{3+1}{10} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$。

1枚目に偶数を引いた後、残りの奇数のカードは6枚、残りのカードは9枚なので、2枚目に奇数を引く確率は $\frac{6}{9} = \frac{2}{3}$。

この場合の確率は $\frac{2}{5} \times \frac{2}{3} = \frac{4}{15}$。

1枚目に奇数を引く確率は $\frac{6}{10} = \frac{3}{5}$。

1枚目に奇数を引いた後、残りの偶数のカードは4枚、残りのカードは9枚なので、2枚目に偶数を引く確率は $\frac{4}{9}$。

この場合の確率は $\frac{3}{5} \times \frac{4}{9} = \frac{12}{45} = \frac{4}{15}$。

したがって、X = 1となる確率は $P(X=1) = \frac{4}{15} + \frac{4}{15} = \frac{8}{15}$。

* X = 2 (偶数のカードを2回引く)

これは、2枚とも偶数のカードを引く場合である。

1枚目に偶数を引く確率は $\frac{4}{10} = \frac{2}{5}$。

1枚目に偶数を引いた後、残りの偶数のカードは3枚、残りのカードは9枚なので、2枚目に偶数を引く確率は $\frac{3}{9} = \frac{1}{3}$。

したがって、X = 2となる確率は $P(X=2) = \frac{2}{5} \times \frac{1}{3} = \frac{2}{15}$。

確率の合計を確認する。

$\frac{1}{3} + \frac{8}{15} + \frac{2}{15} = \frac{5}{15} + \frac{8}{15} + \frac{2}{15} = \frac{15}{15} = 1$。

3. 最終的な答え

X | 0 | 1 | 2 | 計

------- | -------- | -------- | -------- | --------

P | 1/3 | 8/15 | 2/15 | 1

表の空欄を埋めると次のようになる。

X: 0, 1, 2

P: 1/3, 8/15, 2/15