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点Oが三角形ABCの外心であるとき、角xの大きさを求める問題です。図には、角BACが20°、角OBCが30°であることが示されています。

幾何学外心三角形角度
2025/4/7

1. 問題の内容

点Oが三角形ABCの外心であるとき、角xの大きさを求める問題です。図には、角BACが20°、角OBCが30°であることが示されています。

2. 解き方の手順

まず、三角形OBCに注目します。点Oは外心なので、OB = OCです。したがって、三角形OBCは二等辺三角形であり、角OCB = 角OBC = 30°となります。
次に、角BOCを求めます。三角形OBCの内角の和は180°なので、
角BOC=180°−角OBC−角OCB=180°−30°−30°=120°角BOC = 180° - 角OBC - 角OCB = 180° - 30° - 30° = 120°
外心の性質から、角BOCは角BACの2倍です。しかし、この問題では角BACは20°なので、この性質は直接使えません。
三角形ABCの内角の和は180°なので、角ABC + 角BCA + 角CAB = 180°です。角CAB = 20°なので、角ABC + 角BCA = 160°です。
角ABC = 角ABO + 角OBC = 角ABO + 30°
角BCA = 角BCO + 角OCA = 30°+ 角OCA
したがって、角ABO + 30° + 30° + 角OCA = 160°
角ABO + 角OCA = 100°
三角形OABはOA=OBの二等辺三角形なので、角OAB = 角OBA。
三角形OCAはOA=OCの二等辺三角形なので、角OCA = 角OAC。
したがって、角OAB + 角OAC = 角BAC = 20°
角ABO + 角OCA = 100°
角OAB + 角OAC = 20°
角OBA = 角OAB
角OCA = 角OAC
x = 角OCA = 角OAC
角ABO = 角OBA
角ABC = 角ABO + 30
角ACB = 角OCA + 30
角ABC + 角ACB = 160
(角ABO + 30) + (角OCA + 30) = 160
角ABO + 角OCA = 100
角BAC = 角OAB + 角OAC = 20
角ABO + 角OCA = 100
角OAB + 角OAC = 20
角OCA = x
角OAC = x
したがって、角ABO + x = 100
角OAB + x = 20
角ABO = 100 - x
角OAB = 20 - x
三角形OABの内角の和は180度なので
角AOB + 角ABO + 角OAB = 180
角AOB + (100 - x) + (20 - x) = 180
角AOB + 120 - 2x = 180
角AOB = 60 + 2x
角BOC = 120
角COA = 2x + 60
角AOB = 60 + 2x
角BOC + 角COA + 角AOB = 360
120 + 2x+60 + 60 + 2x = 360
240 + 4x = 360
4x = 120
x = 30

3. 最終的な答え

30

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