次の不定積分を求めなさい。 $\int (-10x^4 + 8x^3 + 2x + 5) dx$

1. 問題の内容

次の不定積分を求めなさい。

$\int (-10x^4 + 8x^3 + 2x + 5) dx$

2. 解き方の手順

不定積分は、それぞれの項を積分して足し合わせることで求められます。

まず、各項を積分します。

- $-10x^4$ の積分:

$\int -10x^4 dx = -10 \cdot \frac{x^{4+1}}{4+1} = -10 \cdot \frac{x^5}{5} = -2x^5$

- $8x^3$ の積分:

$\int 8x^3 dx = 8 \cdot \frac{x^{3+1}}{3+1} = 8 \cdot \frac{x^4}{4} = 2x^4$

- $2x$ の積分:

$\int 2x dx = 2 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} = 2 \cdot \frac{x^2}{2} = x^2$

- $5$ の積分:

$\int 5 dx = 5x$

これらの積分結果を足し合わせ、積分定数 $C$ を加えます。

3. 最終的な答え

$\int (-10x^4 + 8x^3 + 2x + 5) dx = -2x^5 + 2x^4 + x^2 + 5x + C$