与えられた対数計算の式を簡単にします。問題は4つあります。 (1) $\log_2 24 + 2\log_2 \frac{5}{2} - \log_2 \frac{75}{4}$ (2) $\log_{10} \frac{4}{5} - \log_{10} (\frac{3}{5})^2 + 2\log_{10} \frac{3}{\sqrt{2}}$ (3) $3^{1+\log_3 2}$ (4) $(\log_4 9 - \log_2 \sqrt{3}) (\log_3 2 + \log_{27} \sqrt{8})$

1. 問題の内容

与えられた対数計算の式を簡単にします。問題は4つあります。

(1) $\log_2 24 + 2\log_2 \frac{5}{2} - \log_2 \frac{75}{4}$

(2) $\log_{10} \frac{4}{5} - \log_{10} (\frac{3}{5})^2 + 2\log_{10} \frac{3}{\sqrt{2}}$

(3) $3^{1+\log_3 2}$

(4) $(\log_4 9 - \log_2 \sqrt{3}) (\log_3 2 + \log_{27} \sqrt{8})$

2. 解き方の手順

(1)

まず、対数の性質を利用して式を整理します。

$2\log_2 \frac{5}{2} = \log_2 (\frac{5}{2})^2 = \log_2 \frac{25}{4}$

よって、

$\log_2 24 + \log_2 \frac{25}{4} - \log_2 \frac{75}{4} = \log_2 \frac{24 \cdot \frac{25}{4}}{\frac{75}{4}} = \log_2 \frac{24 \cdot 25}{75} = \log_2 \frac{24}{3} = \log_2 8 = \log_2 2^3 = 3$

(2)

対数の性質を利用して式を整理します。

$\log_{10} \frac{4}{5} - \log_{10} (\frac{3}{5})^2 + 2\log_{10} \frac{3}{\sqrt{2}} = \log_{10} \frac{4}{5} - \log_{10} \frac{9}{25} + \log_{10} (\frac{3}{\sqrt{2}})^2 = \log_{10} \frac{4}{5} - \log_{10} \frac{9}{25} + \log_{10} \frac{9}{2}$

$=\log_{10} \frac{\frac{4}{5} \cdot \frac{9}{2}}{\frac{9}{25}} = \log_{10} (\frac{4}{5} \cdot \frac{25}{2}) = \log_{10} (2 \cdot 5) = \log_{10} 10 = 1$

(3)

指数の性質を利用します。

$3^{1+\log_3 2} = 3^1 \cdot 3^{\log_3 2} = 3 \cdot 2 = 6$

(4)

底の変換公式を用いて、底を揃えます。

$\log_4 9 = \frac{\log_2 9}{\log_2 4} = \frac{\log_2 3^2}{2} = \frac{2\log_2 3}{2} = \log_2 3$

$\log_{27} \sqrt{8} = \frac{\log_3 \sqrt{8}}{\log_3 27} = \frac{\log_3 2^{3/2}}{3} = \frac{\frac{3}{2}\log_3 2}{3} = \frac{1}{2}\log_3 2$

よって、

$(\log_4 9 - \log_2 \sqrt{3}) (\log_3 2 + \log_{27} \sqrt{8}) = (\log_2 3 - \log_2 3^{1/2}) (\log_3 2 + \frac{1}{2}\log_3 2) = (\log_2 3 - \frac{1}{2}\log_2 3) (\log_3 2 + \frac{1}{2}\log_3 2) = (\frac{1}{2}\log_2 3) (\frac{3}{2}\log_3 2) = \frac{3}{4} \log_2 3 \cdot \log_3 2 = \frac{3}{4} \cdot 1 = \frac{3}{4}$

3. 最終的な答え

(1) 3

(2) 1

(3) 6

(4) $\frac{3}{4}$