特殊直交行列 $T = \frac{1}{7} \begin{pmatrix} 6 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & -6 \\ -3 & 6 & 2 \end{pmatrix} \in SO(3)$ が与えられている。この回転変換の回転軸の方向ベクトル $\vec{l}$ と回転角 $\theta$ の余弦 $\cos \theta$ を求める。

1. 問題の内容

特殊直交行列 $T = \frac{1}{7} \begin{pmatrix} 6 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & -6 \\ -3 & 6 & 2 \end{pmatrix} \in SO(3)$ が与えられている。この回転変換の回転軸の方向ベクトル $\vec{l}$ と回転角 $\theta$ の余弦 $\cos \theta$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) 回転軸の方向ベクトル $\vec{l}$ を求める。$\vec{l}$ は $T \vec{l} = \vec{l}$ を満たす単位ベクトルである。つまり、行列 $T$ の固有値1に対応する固有ベクトルを求める。

$T \vec{l} = \vec{l}$ は $(T - I) \vec{l} = 0$ と書き換えられる。ここで $I$ は単位行列である。

$T - I = \frac{1}{7} \begin{pmatrix} 6 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & -6 \\ -3 & 6 & 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{7} \begin{pmatrix} -1 & 2 & 3 \\ 2 & -4 & -6 \\ -3 & 6 & -5 \end{pmatrix}$

したがって、$\begin{pmatrix} -1 & 2 & 3 \\ 2 & -4 & -6 \\ -3 & 6 & -5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ を解く。

この連立一次方程式は $-x + 2y + 3z = 0$ であり、 $2x - 4y - 6z = 0$ は $-x + 2y + 3z = 0$ と同等である。$-3x + 6y - 5z = 0$ も考慮すると、$-5z = 3x - 6y = -5(-x + 2y)$.

したがって、$-5z = -5(-x+2y)$となり、$z=x-2y$が得られる。$-x+2y+3z=0$に代入すると、$-x+2y+3(x-2y)=0$となり、$2x-4y=0$, $x=2y$が得られる。

従って、$z=x-2y=2y-2y=0$.

したがって、$x=2y, z=0$。

固有ベクトルは$\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ のスカラー倍になる。

これを正規化すると、$\vec{l} = \frac{1}{\sqrt{2^2 + 1^2 + 0^2}} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{5}} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$

(2) $\cos \theta$ を求める。

$\text{tr}(T) = 1 + 2 \cos \theta$ が成り立つ。ここで、$\text{tr}(T)$ は行列 $T$ のトレース（対角成分の和）を表す。

$\text{tr}(T) = \frac{1}{7}(6 + 3 + 2) = \frac{11}{7}$

$\cos \theta = \frac{\text{tr}(T) - 1}{2} = \frac{\frac{11}{7} - 1}{2} = \frac{\frac{4}{7}}{2} = \frac{2}{7}$

3. 最終的な答え

回転軸の方向ベクトル $\vec{l} = \frac{1}{\sqrt{5}} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$

回転角の余弦 $\cos \theta = \frac{2}{7}$