積が125である異なる3つの数 $a, b, c$ がある。$a, b, c$ はこの順に等差数列をなし、$b, c, a$ はこの順に等比数列をなす。このとき、$a, b, c$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

積が125である異なる3つの数 $a, b, c$ がある。$a, b, c$ はこの順に等差数列をなし、$b, c, a$ はこの順に等比数列をなす。このとき、$a, b, c$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$a, b, c$ の積が125であることから、以下の式が成り立つ。

$abc = 125$ ...(1)

$a, b, c$ がこの順に等差数列であることから、等差中項の性質を用いて、以下の式が成り立つ。

$2b = a + c$ ...(2)

$b, c, a$ がこの順に等比数列であることから、等比中項の性質を用いて、以下の式が成り立つ。

$c^2 = ab$ ...(3)

式(1)と(3)より、$abc = 125$ と $c^2 = ab$ から、

$c^2 * c = 125$

$c^3 = 125$

$c = 5$

$c=5$ を式(2)に代入して、$a = 2b - 5$ ...(2')

$c=5$ を式(3)に代入して、$5^2 = ab$ より $ab = 25$ ...(3')

式(2')を式(3')に代入して、$a$ を消去する。

$(2b - 5)b = 25$

$2b^2 - 5b = 25$

$2b^2 - 5b - 25 = 0$

$(b - 5)(2b + 5) = 0$

$b = 5$ または $b = -\frac{5}{2}$ である。

$a, b, c$ は異なる数であるから、$b \neq c$ である。

したがって、$b = -\frac{5}{2}$ である。

$a = 2b - 5 = 2(-\frac{5}{2}) - 5 = -5 - 5 = -10$

3. 最終的な答え

$a = -10, b = -\frac{5}{2}, c = 5$