2次関数 $y = -x^2 + 2x + 5$ の $0 \le x \le 3$ における最大値と最小値を求める。

1. 問題の内容

2次関数 $y = -x^2 + 2x + 5$ の $0 \le x \le 3$ における最大値と最小値を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成する。

$y = -(x^2 - 2x) + 5$

$y = -(x^2 - 2x + 1 - 1) + 5$

$y = -(x-1)^2 + 1 + 5$

$y = -(x-1)^2 + 6$

したがって、この2次関数の頂点は $(1, 6)$ であり、上に凸なグラフである。

定義域 $0 \le x \le 3$ を考慮して、最大値と最小値を求める。

頂点の $x$ 座標 $x=1$ は定義域に含まれているので、$x=1$ のとき、最大値 $y=6$ をとる。

次に、定義域の端点 $x=0$ と $x=3$ での $y$ の値を計算する。

$x=0$ のとき、$y = -0^2 + 2(0) + 5 = 5$

$x=3$ のとき、$y = -3^2 + 2(3) + 5 = -9 + 6 + 5 = 2$

$x=3$ における $y$ の値が最も小さいので、最小値は $2$ である。

3. 最終的な答え

最大値：6

最小値：2