不等式 $3x^2 - 6x - 1 < 0$ を解きます。

1. 問題の内容

不等式 $3x^2 - 6x - 1 < 0$ を解きます。

2. 解き方の手順

まず、2次方程式 $3x^2 - 6x - 1 = 0$ の解を求めます。

解の公式を利用すると、

$x = \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 - 4(3)(-1)}}{2(3)}$

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 12}}{6}$

$x = \frac{6 \pm \sqrt{48}}{6}$

$x = \frac{6 \pm 4\sqrt{3}}{6}$

$x = \frac{3 \pm 2\sqrt{3}}{3}$

したがって、$x = \frac{3 - 2\sqrt{3}}{3}$ と $x = \frac{3 + 2\sqrt{3}}{3}$ が方程式 $3x^2 - 6x - 1 = 0$ の解となります。

次に、不等式 $3x^2 - 6x - 1 < 0$ の解を求めます。2次関数のグラフを考えると、$x^2$ の係数が正なので、グラフは下に凸の放物線になります。したがって、不等式を満たす $x$ の範囲は、2つの解の間です。

よって、不等式 $3x^2 - 6x - 1 < 0$ の解は、

$\frac{3 - 2\sqrt{3}}{3} < x < \frac{3 + 2\sqrt{3}}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{3 - 2\sqrt{3}}{3} < x < \frac{3 + 2\sqrt{3}}{3}$