2次関数 $y = -2x^2 + 4x$ の、定義域 $-2 \le x \le 3$ における最小値を求めよ。

1. 問題の内容

2次関数 $y = -2x^2 + 4x$ の、定義域 $-2 \le x \le 3$ における最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、2次関数を平方完成して、頂点の座標を求める。

$y = -2x^2 + 4x$

$y = -2(x^2 - 2x)$

$y = -2(x^2 - 2x + 1 - 1)$

$y = -2((x - 1)^2 - 1)$

$y = -2(x - 1)^2 + 2$

よって、頂点の座標は $(1, 2)$ である。

次に、定義域 $-2 \le x \le 3$ におけるグラフを考える。

頂点のx座標は $x=1$ なので、定義域に含まれる。

$x=-2$ のとき、$y = -2(-2)^2 + 4(-2) = -2(4) - 8 = -8 - 8 = -16$

$x=3$ のとき、$y = -2(3)^2 + 4(3) = -2(9) + 12 = -18 + 12 = -6$

定義域 $-2 \le x \le 3$ において、この2次関数は上に凸のグラフである。したがって、$x=-2$ のとき最小値をとる。

3. 最終的な答え

最小値: -16