$x = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}$、 $y = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}$ のとき、$x^2y + xy^2$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$x = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}$、 $y = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}$ のとき、$x^2y + xy^2$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$x^2y + xy^2$ を因数分解します。

$x^2y + xy^2 = xy(x+y)$

次に、$x+y$と$xy$の値を求めます。

$x+y = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2} + \sqrt{6} - \sqrt{2}}{2} = \frac{2\sqrt{6}}{2} = \sqrt{6}$

$xy = (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2})(\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}) = \frac{(\sqrt{6} + \sqrt{2})(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4} = \frac{(\sqrt{6})^2 - (\sqrt{2})^2}{4} = \frac{6 - 2}{4} = \frac{4}{4} = 1$

したがって、$x^2y + xy^2 = xy(x+y) = 1 \cdot \sqrt{6} = \sqrt{6}$

3. 最終的な答え

$\sqrt{6}$

選択肢には $\sqrt{6}$ がないので、どこかで計算ミスをしている可能性があります。

$x+y$はあっています。

$xy$の計算が間違っていました。

$xy = \frac{6-2}{4} = \frac{4}{4} = 1$

$x^2y + xy^2 = xy(x+y) = (1)(\sqrt{6}) = \sqrt{6}$

選択肢には $\sqrt{6}$ がありません。答えが間違っている可能性を考慮して、もう一度計算します。

$x+y = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2} = \frac{2\sqrt{6}}{2} = \sqrt{6}$

$xy = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2} = \frac{6-2}{4} = \frac{4}{4} = 1$

$x^2y+xy^2 = xy(x+y) = 1 \cdot \sqrt{6} = \sqrt{6}$

問題文にある選択肢の中には、正しい答えがないようです。もし選択肢の中から選ぶ必要があるなら、4$\sqrt{6}$ が最も近いですが、正確ではありません。

$x^2y + xy^2 = xy(x+y)$

$x+y = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2} = \sqrt{6}$

$xy = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2} \times \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2} = \frac{6-2}{4} = \frac{4}{4} = 1$

$x^2y + xy^2 = 1 * \sqrt{6} = \sqrt{6}$

選択肢に一番近いのは

5. $4\sqrt{6}$ですが、正しい答えは$\sqrt{6}$です。

答え: $\sqrt{6}$