(1) 行列式 $\begin{vmatrix} a & a^2 & b+c \\ b & b^2 & c+a \\ c & c^2 & a+b \end{vmatrix}$ を因数分解する。 (2) 方程式 $\begin{vmatrix} x-1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & x-1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & x-1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & x-1 \end{vmatrix} = 0$ を解く。

1. 問題の内容

(1) 行列式

$\begin{vmatrix} a & a^2 & b+c \\ b & b^2 & c+a \\ c & c^2 & a+b \end{vmatrix}$

を因数分解する。

(2) 方程式

$\begin{vmatrix} x-1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & x-1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & x-1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & x-1 \end{vmatrix} = 0$

を解く。

2. 解き方の手順

(1) 行列式の因数分解

与えられた行列式を $D$ とおく。第3列を第1列と第2列の線形結合で表す。

$D = \begin{vmatrix} a & a^2 & b+c \\ b & b^2 & c+a \\ c & c^2 & a+b \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a & a^2 & a+b+c-a \\ b & b^2 & a+b+c-b \\ c & c^2 & a+b+c-c \end{vmatrix}$

$= \begin{vmatrix} a & a^2 & a+b+c \\ b & b^2 & a+b+c \\ c & c^2 & a+b+c \end{vmatrix} - \begin{vmatrix} a & a^2 & a \\ b & b^2 & b \\ c & c^2 & c \end{vmatrix}$

$= (a+b+c) \begin{vmatrix} a & a^2 & 1 \\ b & b^2 & 1 \\ c & c^2 & 1 \end{vmatrix} - 0$ (第1列と第3列が比例するので、第2項の行列式は0)

$= (a+b+c) \begin{vmatrix} a & a^2 & 1 \\ b & b^2 & 1 \\ c & c^2 & 1 \end{vmatrix} = (a+b+c) \begin{vmatrix} 1 & a & a^2 \\ 1 & b & b^2 \\ 1 & c & c^2 \end{vmatrix}$

$= (a+b+c)(b-a)(c-a)(c-b) = -(a+b+c)(a-b)(b-c)(c-a)$

(2) 方程式を解く

$\begin{vmatrix} x-1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & x-1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & x-1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & x-1 \end{vmatrix} = 0$

第1列、第2列、第3列、第4列をすべて足し合わせる。

$\begin{vmatrix} x+1 & 1 & 1 & 0 \\ x+1 & x-1 & 0 & 1 \\ x+1 & 0 & x-1 & 1 \\ x+1 & 1 & 1 & x-1 \end{vmatrix} = 0$

第1列から $x+1$ をくくり出す。

$(x+1) \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & x-1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & x-1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & x-1 \end{vmatrix} = 0$

第2行から第1行を引き、第3行から第1行を引き、第4行から第1行を引く。

$(x+1) \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & x-2 & -1 & 1 \\ 0 & -1 & x-2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & x-1 \end{vmatrix} = 0$

第1列に関して展開すると、

$(x+1) \begin{vmatrix} x-2 & -1 & 1 \\ -1 & x-2 & 1 \\ 0 & 0 & x-1 \end{vmatrix} = 0$

$(x+1)(x-1)\begin{vmatrix} x-2 & -1 \\ -1 & x-2 \end{vmatrix} = 0$

$(x+1)(x-1)((x-2)^2 - 1) = 0$

$(x+1)(x-1)(x^2-4x+4-1)=0$

$(x+1)(x-1)(x^2-4x+3)=0$

$(x+1)(x-1)(x-1)(x-3)=0$

$(x+1)(x-1)^2(x-3) = 0$

$x = -1, 1, 3$

3. 最終的な答え

(1) $-(a+b+c)(a-b)(b-c)(c-a)$

(2) $x = -1, 1, 3$