以下の2つの式を計算する問題です。 (1) $2^{\frac{5}{6}} \times 2^{-\frac{1}{2}} \div 2^{\frac{1}{3}}$ (2) $27^{\frac{1}{2}} \times 3^{-\frac{1}{6}} \times 81^{-\frac{1}{12}}$

1. 問題の内容

以下の2つの式を計算する問題です。

(1) $2^{\frac{5}{6}} \times 2^{-\frac{1}{2}} \div 2^{\frac{1}{3}}$

(2) $27^{\frac{1}{2}} \times 3^{-\frac{1}{6}} \times 81^{-\frac{1}{12}}$

2. 解き方の手順

(1) 指数法則を用いて計算します。

$a^m \times a^n = a^{m+n}$

$a^m \div a^n = a^{m-n}$

$2^{\frac{5}{6}} \times 2^{-\frac{1}{2}} \div 2^{\frac{1}{3}} = 2^{\frac{5}{6} - \frac{1}{2} - \frac{1}{3}}$

指数の計算を行います。

$\frac{5}{6} - \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{5}{6} - \frac{3}{6} - \frac{2}{6} = \frac{5-3-2}{6} = \frac{0}{6} = 0$

したがって、

$2^{\frac{5}{6}} \times 2^{-\frac{1}{2}} \div 2^{\frac{1}{3}} = 2^0$

(2) まず、それぞれの数を3の累乗の形で表します。

$27 = 3^3$

$81 = 3^4$

与式に代入します。

$27^{\frac{1}{2}} \times 3^{-\frac{1}{6}} \times 81^{-\frac{1}{12}} = (3^3)^{\frac{1}{2}} \times 3^{-\frac{1}{6}} \times (3^4)^{-\frac{1}{12}}$

指数法則 $(a^m)^n = a^{mn}$を用いて計算します。

$(3^3)^{\frac{1}{2}} = 3^{\frac{3}{2}}$

$(3^4)^{-\frac{1}{12}} = 3^{-\frac{4}{12}} = 3^{-\frac{1}{3}}$

与式は以下のようになります。

$3^{\frac{3}{2}} \times 3^{-\frac{1}{6}} \times 3^{-\frac{1}{3}} = 3^{\frac{3}{2} - \frac{1}{6} - \frac{1}{3}}$

指数の計算を行います。

$\frac{3}{2} - \frac{1}{6} - \frac{1}{3} = \frac{9}{6} - \frac{1}{6} - \frac{2}{6} = \frac{9-1-2}{6} = \frac{6}{6} = 1$

したがって、

$27^{\frac{1}{2}} \times 3^{-\frac{1}{6}} \times 81^{-\frac{1}{12}} = 3^1$

3. 最終的な答え

(1) $1$

(2) $3$