## (4) 放物線 $y = x^2 + 2x - 3$ を、$x$軸方向に-2、$y$軸方向に1だけ平行移動した放物線の方程式を、$y = ax^2 + bx + c$ の形で表しなさい。

## (4) 放物線 $y = x^2 + 2x - 3$ を、$x$軸方向に-2、$y$軸方向に1だけ平行移動した放物線の方程式を、$y = ax^2 + bx + c$ の形で表しなさい。

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2. 解き方の手順**

* 平行移動の公式を利用します。$x$軸方向に $p$、$y$軸方向に $q$ だけ平行移動する場合、$x$ を $x - p$ に、$y$ を $y - q$ に置き換えます。

* 与えられた放物線 $y = x^2 + 2x - 3$ を、$x$軸方向に-2、$y$軸方向に1だけ平行移動するので、$x$ を $x - (-2) = x + 2$ に、$y$ を $y - 1$ に置き換えます。

$y - 1 = (x + 2)^2 + 2(x + 2) - 3$

* 上記の式を展開して整理し、$y = ax^2 + bx + c$ の形にします。

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3. 最終的な答え**

$y - 1 = (x^2 + 4x + 4) + (2x + 4) - 3$

$y - 1 = x^2 + 6x + 5$

$y = x^2 + 6x + 6$

## (5) 放物線 $y = -x^2 + 2x + 3$ を、$x$軸方向に2、$y$軸方向に-5だけ平行移動した放物線の方程式を、$y = ax^2 + bx + c$ の形で表しなさい。

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2. 解き方の手順**

* 平行移動の公式を利用します。$x$軸方向に $p$、$y$軸方向に $q$ だけ平行移動する場合、$x$ を $x - p$ に、$y$ を $y - q$ に置き換えます。

* 与えられた放物線 $y = -x^2 + 2x + 3$ を、$x$軸方向に2、$y$軸方向に-5だけ平行移動するので、$x$ を $x - 2$ に、$y$ を $y - (-5) = y + 5$ に置き換えます。

$y + 5 = -(x - 2)^2 + 2(x - 2) + 3$

* 上記の式を展開して整理し、$y = ax^2 + bx + c$ の形にします。

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3. 最終的な答え**

$y + 5 = -(x^2 - 4x + 4) + (2x - 4) + 3$

$y + 5 = -x^2 + 4x - 4 + 2x - 4 + 3$

$y + 5 = -x^2 + 6x - 5$

$y = -x^2 + 6x - 10$

## (6) 放物線 $y = 3x^2 - 6x + 4$ を、$x$軸方向に2、$y$軸方向に-1だけ平行移動した放物線の方程式を、$y = ax^2 + bx + c$ の形で表しなさい。

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2. 解き方の手順**

* 平行移動の公式を利用します。$x$軸方向に $p$、$y$軸方向に $q$ だけ平行移動する場合、$x$ を $x - p$ に、$y$ を $y - q$ に置き換えます。

* 与えられた放物線 $y = 3x^2 - 6x + 4$ を、$x$軸方向に2、$y$軸方向に-1だけ平行移動するので、$x$ を $x - 2$ に、$y$ を $y - (-1) = y + 1$ に置き換えます。

$y + 1 = 3(x - 2)^2 - 6(x - 2) + 4$

* 上記の式を展開して整理し、$y = ax^2 + bx + c$ の形にします。

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3. 最終的な答え**

$y + 1 = 3(x^2 - 4x + 4) - 6x + 12 + 4$

$y + 1 = 3x^2 - 12x + 12 - 6x + 16$

$y + 1 = 3x^2 - 18x + 28$

$y = 3x^2 - 18x + 27$

## (7) 放物線 $y = x^2 - 6x + 8$ を平行移動して、放物線 $y = x^2 + 2x + 3$ に重ねるには、どのように平行移動すればよいか答えなさい。

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2. 解き方の手順**

* それぞれの放物線を平方完成して、頂点の座標を求めます。

* 頂点の移動量を求めます。

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3. 最終的な答え**

$y = x^2 - 6x + 8 = (x - 3)^2 - 1$

よって、頂点は $(3, -1)$

$y = x^2 + 2x + 3 = (x + 1)^2 + 2$

よって、頂点は $(-1, 2)$

したがって、$x$軸方向に $-1 - 3 = -4$、$y$軸方向に $2 - (-1) = 3$ だけ平行移動すればよい。

## (8) 放物線 $y = -x^2 + 3x - 1$ を平行移動して、放物線 $y = -x^2 - 5x + 2$ に重ねるには、どのように平行移動すればよいか答えなさい。

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2. 解き方の手順**

* それぞれの放物線を平方完成して、頂点の座標を求めます。

* 頂点の移動量を求めます。

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3. 最終的な答え**

$y = -x^2 + 3x - 1 = -(x - \frac{3}{2})^2 + \frac{5}{4}$

よって、頂点は $(\frac{3}{2}, \frac{5}{4})$

$y = -x^2 - 5x + 2 = -(x + \frac{5}{2})^2 + \frac{33}{4}$

よって、頂点は $(-\frac{5}{2}, \frac{33}{4})$

したがって、$x$軸方向に $-\frac{5}{2} - \frac{3}{2} = -4$、$y$軸方向に $\frac{33}{4} - \frac{5}{4} = 7$ だけ平行移動すればよい。

## (9) 放物線 $y = 2x^2 + 4x + 3$ を平行移動して、放物線 $y = 2x^2 - 8x$ に重ねるには、どのように平行移動すればよいか答えなさい。

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2. 解き方の手順**

* それぞれの放物線を平方完成して、頂点の座標を求めます。

* 頂点の移動量を求めます。

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3. 最終的な答え**

$y = 2x^2 + 4x + 3 = 2(x + 1)^2 + 1$

よって、頂点は $(-1, 1)$

$y = 2x^2 - 8x = 2(x - 2)^2 - 8$

よって、頂点は $(2, -8)$

したがって、$x$軸方向に $2 - (-1) = 3$、$y$軸方向に $-8 - 1 = -9$ だけ平行移動すればよい。