正の整数 $n$ に対して、集合 $A = \{x \mid x$ は正の整数かつ $3n+3 \le x \le 4n+5\}$ と $B = \{x \mid x$ は正の整数かつ $n+11 \le x \le 2n+14\}$ が与えられている。 (1) $n=9$ のとき、$A \cap B$ の要素の個数を求める。 (2) $A \cap B \neq \emptyset$ となるような $n$ の個数を求める。

1. 問題の内容

正の整数 $n$ に対して、集合 $A = \{x \mid x$ は正の整数かつ $3n+3 \le x \le 4n+5\}$ と $B = \{x \mid x$ は正の整数かつ $n+11 \le x \le 2n+14\}$ が与えられている。

(1) $n=9$ のとき、$A \cap B$ の要素の個数を求める。

(2) $A \cap B \neq \emptyset$ となるような $n$ の個数を求める。

2. 解き方の手順

(1) $n=9$ のとき、

$A = \{x \mid x$ は正の整数かつ $3(9)+3 \le x \le 4(9)+5\} = \{x \mid x$ は正の整数かつ $30 \le x \le 41\}$

$B = \{x \mid x$ は正の整数かつ $9+11 \le x \le 2(9)+14\} = \{x \mid x$ は正の整数かつ $20 \le x \le 32\}$

$A \cap B = \{x \mid x$ は正の整数かつ $30 \le x \le 32\}$

したがって、$A \cap B$ の要素は $30, 31, 32$ であり、個数は3個である。

(2) $A \cap B \neq \emptyset$ となるためには、

$3n+3 \le 4n+5$ かつ $n+11 \le 2n+14$ は常に成り立つので考える必要はない。

$3n+3 \le x \le 4n+5$ と $n+11 \le x \le 2n+14$ が共通部分を持つ条件は、

$3n+3 \le 2n+14$ かつ $n+11 \le 4n+5$ が成り立つことである。

$3n+3 \le 2n+14$ より $n \le 11$。

$n+11 \le 4n+5$ より $6 \le 3n$ よって $n \ge 2$。

したがって、$2 \le n \le 11$ となる $n$ の個数は $11 - 2 + 1 = 10$ 個である。

3. 最終的な答え

$n=9$ のとき、$A \cap B$ の要素の個数は 3 個。

$A \cap B \neq \emptyset$ となるような $n$ の個数は 10 個。