複素数の方程式 $z^3 = 8i$ の解を求め、実部が正である解と、実部が負である解をそれぞれ求める問題です。

1. 問題の内容

複素数の方程式 $z^3 = 8i$ の解を求め、実部が正である解と、実部が負である解をそれぞれ求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$8i$ を極形式で表します。$8i = 8(\cos(\frac{\pi}{2}) + i\sin(\frac{\pi}{2}))$ となります。

ド・モアブルの定理より、$z^3 = 8i$ の解は、

$z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ とおくと、

$r^3 (\cos(3\theta) + i\sin(3\theta)) = 8(\cos(\frac{\pi}{2}) + i\sin(\frac{\pi}{2}))$

したがって、$r^3 = 8$ より $r = 2$ です。

また、$3\theta = \frac{\pi}{2} + 2n\pi$ ($n$は整数) なので、$\theta = \frac{\pi}{6} + \frac{2n\pi}{3}$ となります。

$n = 0, 1, 2$ を代入すると、

$n = 0$ のとき、$\theta = \frac{\pi}{6}$

$z_0 = 2(\cos(\frac{\pi}{6}) + i\sin(\frac{\pi}{6})) = 2(\frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2}) = \sqrt{3} + i$

$n = 1$ のとき、$\theta = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi}{3} = \frac{5\pi}{6}$

$z_1 = 2(\cos(\frac{5\pi}{6}) + i\sin(\frac{5\pi}{6})) = 2(-\frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2}) = -\sqrt{3} + i$

$n = 2$ のとき、$\theta = \frac{\pi}{6} + \frac{4\pi}{3} = \frac{9\pi}{6} = \frac{3\pi}{2}$

$z_2 = 2(\cos(\frac{3\pi}{2}) + i\sin(\frac{3\pi}{2})) = 2(0 - i) = -2i$

したがって、$z^3 = 8i$ の解は、$\sqrt{3} + i$, $-\sqrt{3} + i$, $-2i$ です。

実部が正である解は $\sqrt{3} + i$ です。

実部が負である解は $-\sqrt{3} + i$ です。

3. 最終的な答え

実部が正である解は $\sqrt{3} + i$

実部が負である解は $-\sqrt{3} + i$