与えられた不等式 $4x^2yz \geq (x^2+z^2+z)(2y^2z-x)$ が成り立つかどうかを判断し、成り立つならば証明し、成り立たないならば反例を挙げる問題です。

1. 問題の内容

与えられた不等式 $4x^2yz \geq (x^2+z^2+z)(2y^2z-x)$ が成り立つかどうかを判断し、成り立つならば証明し、成り立たないならば反例を挙げる問題です。

2. 解き方の手順

不等式の評価を行うために、いくつかのケースを考えます。

まず、$x,y,z$ がすべて正の場合を考えます。

不等式の右辺を展開すると、

$(x^2+z^2+z)(2y^2z-x) = 2x^2y^2z - x^3 + 2y^2z^3 - xz^2 + 2y^2z^2 - xz$

となります。

この式と左辺の $4x^2yz$ を比較するのは難しいです。

そこで、具体的な値を代入して不等式が成り立つかどうかを確認します。

例えば、$x=1, y=1, z=1$ を代入すると、

左辺は $4(1)^2(1)(1) = 4$

右辺は $(1^2+1^2+1)(2(1)^2(1)-1) = (1+1+1)(2-1) = 3(1) = 3$

となり、$4 \geq 3$ が成り立ちます。

$x=1, y=1, z=0.1$ を代入すると、

左辺は $4(1)^2(1)(0.1) = 0.4$

右辺は $(1^2+(0.1)^2+0.1)(2(1)^2(0.1)-1) = (1+0.01+0.1)(0.2-1) = (1.11)(-0.8) = -0.888$

となり、$0.4 \geq -0.888$ が成り立ちます。

$x=1, y=1, z=2$ を代入すると、

左辺は $4(1)^2(1)(2) = 8$

右辺は $(1^2+2^2+2)(2(1)^2(2)-1) = (1+4+2)(4-1) = 7(3) = 21$

となり、$8 \geq 21$ が成り立ちません。

3. 最終的な答え

与えられた不等式は常に成り立つとは限りません。

反例として、$x=1, y=1, z=2$ を代入すると、不等式は成り立ちません。

したがって、不等式 $4x^2yz \geq (x^2+z^2+z)(2y^2z-x)$ は成り立ちません。