行列式を計算するために、行または列の操作を使って単純化します。
まず、すべての行を足し合わせます。
1行目に2行目、3行目、4行目を足すと、1行目は次のようになります。
(−a+a+a+b,a−a+b+a,b+a−a+a,b+b+a−a)=(a+b,a+b,a+b,a+b). したがって、行列式は次のようになります。
$\begin{vmatrix}
a+b & a+b & a+b & a+b \\
a & -a & a & b \\
a & b & -a & a \\
b & a & a & -a
\end{vmatrix}$
a+bを1行目から括り出すことができます。 $(a+b) \begin{vmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
a & -a & a & b \\
a & b & -a & a \\
b & a & a & -a
\end{vmatrix}$
次に、1列目を使い、2列目、3列目、4列目から引く操作を行います。
これにより、行列式は次のようになります。
$(a+b) \begin{vmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
a & -2a & 0 & b-a \\
a & b-a & -2a & a-a \\
b & a-b & a-b & -a-b
\end{vmatrix}$
したがって、行列式は次のようになります。
$(a+b) \begin{vmatrix}
-2a & 0 & b-a \\
b-a & -2a & 0 \\
a-b & a-b & -a-b
\end{vmatrix}$
(a+b)(−2a((−2a)(−a−b)−0)−0+(b−a)((b−a)(a−b)−(−2a)(a−b)))=(a+b)(−2a(2a2+2ab)+(b−a)(ba−b2−a2+ab+2a2−2ab))=(a+b)(−4a3−4a2b+(b−a)(a2−b2))=(a+b)(−4a3−4a2b+a2b−b3−a3+ab2)=(a+b)(−5a3−3a2b+ab2−b3) (a+b)−2ab−aa−b0−2aa−bb−aa−a−a−b=(a+b)−2ab−aa−b0−2aa−bb−a0−(a+b)=(a+b)(−2a((−2a)(−a−b)−0)+(b−a)((b−a)(a−b)−(−2a)(a−b))) =(a+b)(−2a(2a2+2ab)+(b−a)(ba−b2−a2+ab+2a2−2ab))=(a+b)(−4a3−4a2b+(b−a)(a2−b2))=(a+b)(−4a3−4a2b+ba2−b3−a3+ab2)=(a+b)(−5a3−3a2b+ab2−b3) 行列式は(a+b)(−5a3−3a2b+ab2−b3) しかし、行列式が0になる簡単な解法があります。a=−bを仮定すると、1列目と2列目を加算すると、行列式は0になります。したがって、a+bは解の一つです。 1aab1−aba1a−aa1ba−a 列の削減を適用すると、次のようになります。
1aab0−2ab−aa−b00−2aa−b0b−a0−(a+b)=−2ab−aa−b0−2aa−bb−a0−(a+b)=−2a(2a2+2ab)+(b−a)(−(a−b)(a+b)+2a(a−b))=−4a3−4a2b+(b−a)(−a2+b2+2a2−2ab)=−4a3−4a2b+ba2+b3−a3−2ab2=−5a3−3a2b−2ab2+b3 この計算を修正するために、すべての行と列を合計して再計算することをお勧めします。
1.すべての列を加算する(−a+a+a+b,a−a+b+a,b+a−a+a,b+b+a−a)=(a+b,a+b,a+b,a+b). 