長方形の厚紙があり、横は縦より3cm長い。この厚紙の4隅から一辺が5cmの正方形を切り取り、蓋のない箱を作ったところ、その容積が770 $cm^3$になった。 (1) もとの縦の長さを $x$ cmとして、横の長さを表す。 (2) もとの厚紙の縦の長さを求める。

1. 問題の内容

長方形の厚紙があり、横は縦より3cm長い。この厚紙の4隅から一辺が5cmの正方形を切り取り、蓋のない箱を作ったところ、その容積が770 $cm^3$になった。

(1) もとの縦の長さを $x$ cmとして、横の長さを表す。

(2) もとの厚紙の縦の長さを求める。

2. 解き方の手順

(1)

もとの縦の長さを $x$ cmとすると、横の長さは縦より3cm長いので、$x+3$ cmとなる。

(2)

4隅から一辺5cmの正方形を切り取るので、箱の高さは5cm。

箱の底面の縦の長さは、$x-2\times5 = x-10$ cm。

箱の底面の横の長さは、$x+3-2\times5 = x+3-10 = x-7$ cm。

箱の容積は、底面積 $\times$ 高さ なので、

$(x-10)(x-7) \times 5 = 770$

$(x-10)(x-7) = 154$

$x^2 - 17x + 70 = 154$

$x^2 - 17x - 84 = 0$

$(x-21)(x+4) = 0$

$x = 21$ または $x = -4$

縦の長さは正なので、$x=21$。

よって、もとの厚紙の縦の長さは21cm。

3. 最終的な答え

(1) $x+3$ cm

(2) 21 cm