与えられた数の分母を有理化する問題です。特に、4番目の問題は $\frac{\sqrt{2} + 2\sqrt{5}}{2\sqrt{2} - \sqrt{5}}$ を有理化する問題です。

1. 問題の内容

与えられた数の分母を有理化する問題です。特に、4番目の問題は $\frac{\sqrt{2} + 2\sqrt{5}}{2\sqrt{2} - \sqrt{5}}$ を有理化する問題です。

2. 解き方の手順

分母を有理化するためには、分母の共役複素数を分子と分母に掛けます。

分母 $2\sqrt{2} - \sqrt{5}$ の共役複素数は $2\sqrt{2} + \sqrt{5}$ です。したがって、分子と分母に $2\sqrt{2} + \sqrt{5}$ を掛けます。

$\frac{\sqrt{2} + 2\sqrt{5}}{2\sqrt{2} - \sqrt{5}} = \frac{(\sqrt{2} + 2\sqrt{5})(2\sqrt{2} + \sqrt{5})}{(2\sqrt{2} - \sqrt{5})(2\sqrt{2} + \sqrt{5})}$

分子を展開します。

$(\sqrt{2} + 2\sqrt{5})(2\sqrt{2} + \sqrt{5}) = \sqrt{2} \cdot 2\sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot \sqrt{5} + 2\sqrt{5} \cdot 2\sqrt{2} + 2\sqrt{5} \cdot \sqrt{5} = 4 + \sqrt{10} + 4\sqrt{10} + 10 = 14 + 5\sqrt{10}$

分母を展開します。

$(2\sqrt{2} - \sqrt{5})(2\sqrt{2} + \sqrt{5}) = (2\sqrt{2})^2 - (\sqrt{5})^2 = 4 \cdot 2 - 5 = 8 - 5 = 3$

したがって、

$\frac{(\sqrt{2} + 2\sqrt{5})(2\sqrt{2} + \sqrt{5})}{(2\sqrt{2} - \sqrt{5})(2\sqrt{2} + \sqrt{5})} = \frac{14 + 5\sqrt{10}}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{14 + 5\sqrt{10}}{3}$