(1) $x + 2y = 1$ のとき、$x^2 + y^2$ の最小値と、そのときの $x$, $y$ の値を求めよ。 (2) $x \geq 0$, $y \geq 0$, $x + y = 4$ のとき、$(x-1)y$ の最大値、最小値と、そのときの $x$, $y$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

(1) $x + 2y = 1$ のとき、$x^2 + y^2$ の最小値と、そのときの $x$, $y$ の値を求めよ。

(2) $x \geq 0$, $y \geq 0$, $x + y = 4$ のとき、$(x-1)y$ の最大値、最小値と、そのときの $x$, $y$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

$x + 2y = 1$ より、$x = 1 - 2y$。

これを $x^2 + y^2$ に代入すると、

$x^2 + y^2 = (1 - 2y)^2 + y^2 = 1 - 4y + 4y^2 + y^2 = 5y^2 - 4y + 1$

$= 5(y^2 - \frac{4}{5}y) + 1 = 5(y^2 - \frac{4}{5}y + \frac{4}{25}) - 5 \cdot \frac{4}{25} + 1$

$= 5(y - \frac{2}{5})^2 - \frac{4}{5} + 1 = 5(y - \frac{2}{5})^2 + \frac{1}{5}$

$5(y - \frac{2}{5})^2 \geq 0$ なので、$x^2 + y^2$ の最小値は $\frac{1}{5}$。

このとき、$y = \frac{2}{5}$ であり、$x = 1 - 2y = 1 - 2 \cdot \frac{2}{5} = 1 - \frac{4}{5} = \frac{1}{5}$。

(2)

$x + y = 4$ より、$y = 4 - x$。

これを $(x-1)y$ に代入すると、

$(x-1)y = (x-1)(4-x) = 4x - x^2 - 4 + x = -x^2 + 5x - 4$

$= -(x^2 - 5x) - 4 = -(x^2 - 5x + \frac{25}{4}) + \frac{25}{4} - 4$

$= -(x - \frac{5}{2})^2 + \frac{25}{4} - \frac{16}{4} = -(x - \frac{5}{2})^2 + \frac{9}{4}$

$x \geq 0$, $y \geq 0$ より、$0 \leq x \leq 4$。

$(x - \frac{5}{2})^2$ は $x = \frac{5}{2}$ のとき最小値 0 を取り、最大値は $x = 0$ または $x = 4$ のとき取ります。

$x = 0$ のとき、$(x - \frac{5}{2})^2 = (\frac{5}{2})^2 = \frac{25}{4}$

$x = 4$ のとき、$(x - \frac{5}{2})^2 = (\frac{3}{2})^2 = \frac{9}{4}$

よって、最大値は $x = 0$ のとき。

したがって、

$0 \leq x \leq 4$ において、$- (x - \frac{5}{2})^2 + \frac{9}{4}$ の最大値は $x = \frac{5}{2}$ のとき $\frac{9}{4}$ であり、最小値は $x = 0$ のとき $-4$。

$x = \frac{5}{2}$ のとき、$y = 4 - x = 4 - \frac{5}{2} = \frac{3}{2}$

$x = 0$ のとき、$y = 4 - x = 4 - 0 = 4$

3. 最終的な答え

(1) 最小値: $\frac{1}{5}$ ($x = \frac{1}{5}$, $y = \frac{2}{5}$ のとき)

(2) 最大値: $\frac{9}{4}$ ($x = \frac{5}{2}$, $y = \frac{3}{2}$ のとき)

最小値: $-4$ ($x = 0$, $y = 4$ のとき)