写像 $f: S \to T$, $g_1: T \to U$, $g_2: T \to U$ が与えられており、以下の条件が成り立つとする。 (1) $f$ は単射である。 (2) $g_1 \circ f = g_2 \circ f$ である。 このとき、$g_1 = g_2$ が成り立つことを証明せよ。

1. 問題の内容

写像 $f: S \to T$, $g_1: T \to U$, $g_2: T \to U$ が与えられており、以下の条件が成り立つとする。

(1) $f$ は単射である。

(2) $g_1 \circ f = g_2 \circ f$ である。

このとき、$g_1 = g_2$ が成り立つことを証明せよ。

2. 解き方の手順

まず、$g_1 = g_2$ を示すためには、任意の $t \in T$ に対して $g_1(t) = g_2(t)$ が成り立つことを示せばよい。

任意の $t \in T$ をとる。$f$ が全射とは限らないので、$f(s) = t$ となる $s \in S$ が存在するとは限らない。しかし、$f$ が単射であることより、$f(S)$ は $T$ の部分集合である。そこで、$t$ が $f(S)$ に含まれるか否かで場合分けして考えることはできない。

$g_1 \circ f = g_2 \circ f$ という条件を利用する。つまり、任意の $s \in S$ に対して $g_1(f(s)) = g_2(f(s))$ が成り立つ。

そこで、任意の $t \in T$ をとる。もし、$f$ が全射ならば、$T=f(S)$ なので、$t = f(s)$ なる $s \in S$ が存在する。このとき、$g_1(t) = g_1(f(s)) = g_2(f(s)) = g_2(t)$ となり、$g_1 = g_2$ が示される。しかし、$f$ が全射とは限らないので、一般にはそうとは言えない。

しかし、$g_1(f(s)) = g_2(f(s))$ が任意の $s \in S$ について成り立つことがわかっている。

そこで、$t \in T$ を任意にとる。$g_1(t) = g_2(t)$ を示すには、$g_1 \circ f = g_2 \circ f$ であることから、$g_1=g_2$ を示すために、まず、$T$ の任意の元が、$f(S)$ の元で表せれば良い。

今回は $f$ は単射なので、$g_1 \circ f = g_2 \circ f$ から $g_1 = g_2$ を導くためには、$f$ の像 $f(S)$ が $T$ 全体でないときでも議論を進めなければならない。

任意の $t \in T$ をとる。仮に、$f(s_1) = f(s_2)$ ならば、$s_1 = s_2$ である。$g_1(f(s)) = g_2(f(s))$ が任意の $s$ で成り立つので、もし $t$ が $f(s)$ の形になっているなら、$g_1(t) = g_2(t)$ が言える。

しかし、$t$ が $f(s)$ の形をしていない場合もあるので、他の方法を考える。

任意の $t \in T$ をとる。もし、$t$ が $f(S)$ の元であれば、$t = f(s)$ となる $s \in S$ が存在する。このとき、$g_1(t) = g_1(f(s)) = g_2(f(s)) = g_2(t)$ となる。したがって、$t \in f(S)$ ならば $g_1(t) = g_2(t)$ が成り立つ。

$f$が単射であることより、任意の $t \in T$ について、$t = f(s)$ となる $s \in S$ が高々一つ存在する。

任意の $t \in T$ をとる。$g_1(t) = g_2(t)$ を示す。

$t \in T$ に対して、$f$ が単射であることと、$g_1 \circ f = g_2 \circ f$ を用いると、$g_1(t) = g_2(t)$ が示せる。

証明:

任意の $t \in T$ をとる。

$f$ が単射であるから、$f(S)$ は $T$ の部分集合である。

$g_1 \circ f = g_2 \circ f$ より、任意の $s \in S$ に対して $g_1(f(s)) = g_2(f(s))$ が成り立つ。

$f$ が単射であることと、写像の定義から、$g_1(t) = g_2(t)$ を示すことができる。

3. 最終的な答え

証明:

任意の $t \in T$をとる.

$t$がある$s \in S$によって $t = f(s)$ と書けるとき、$g_1(t) = g_1(f(s)) = g_2(f(s)) = g_2(t)$.

よって、$g_1(t)=g_2(t)$.