2次方程式 $x^2 + 2ax + 4a - 3 = 0$ が1より小さい異なる2つの解を持つときの、定数 $a$ の値の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 + 2ax + 4a - 3 = 0$ が1より小さい異なる2つの解を持つときの、定数 $a$ の値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

与えられた2次方程式 $x^2 + 2ax + 4a - 3 = 0$ について、以下の条件を満たす $a$ の範囲を求めます。

(1) 判別式 $D > 0$（異なる2つの実数解を持つ）

(2) 2つの解 $\alpha, \beta$ について、$\alpha < 1$ かつ $\beta < 1$、つまり $\alpha - 1 < 0$ かつ $\beta - 1 < 0$。

言い換えると、解と係数の関係を使って ($\alpha - 1$) + ($\beta - 1$) < 0 と ($\alpha - 1$)($\beta - 1$) > 0 を満たす。

(3) $f(x) = x^2 + 2ax + 4a - 3$ とおくと、軸 $x = -a < 1$。

(4) $f(1) > 0$

まず、判別式 $D$ を計算します。

$D = (2a)^2 - 4(1)(4a - 3) = 4a^2 - 16a + 12 > 0$

$a^2 - 4a + 3 > 0$

$(a - 1)(a - 3) > 0$

よって、$a < 1$ または $3 < a$

次に、解と係数の関係より、$\alpha + \beta = -2a$、$\alpha\beta = 4a - 3$ です。

$(\alpha - 1) + (\beta - 1) = \alpha + \beta - 2 = -2a - 2 < 0$

$-2a < 2$

$a > -1$

$(\alpha - 1)(\beta - 1) = \alpha\beta - (\alpha + \beta) + 1 = (4a - 3) - (-2a) + 1 = 6a - 2 > 0$

$6a > 2$

$a > \frac{1}{3}$

軸 $x = -a < 1$

$a > -1$

$f(1) = 1^2 + 2a(1) + 4a - 3 = 1 + 2a + 4a - 3 = 6a - 2 > 0$

$6a > 2$

$a > \frac{1}{3}$

これらの条件を全て満たす $a$ の範囲を求めます。

$a < 1$ または $3 < a$

$a > -1$

$a > \frac{1}{3}$

$a > -1$

$a > \frac{1}{3}$

したがって、$\frac{1}{3} < a < 1$ および $3 < a$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{3} < a < 1, 3 < a$