与えられた式 $x^4 + 4x^2 + 16$ を因数分解する問題です。

1. 問題の内容

与えられた式 $x^4 + 4x^2 + 16$ を因数分解する問題です。

2. 解き方の手順

与えられた式を平方完成のような形に変形し、さらに因数分解を行います。

まず、$x^4 + 4x^2 + 16$ を見ると、$x^4$ と $16$ はそれぞれ $(x^2)^2$ と $4^2$ であることに気づきます。

もし、$4x^2$ が $2 \cdot x^2 \cdot 4 = 8x^2$ であれば、$(x^2 + 4)^2$ という形になります。

そこで、

$x^4 + 4x^2 + 16 = x^4 + 8x^2 + 16 - 4x^2$

と変形します。

すると、

$x^4 + 8x^2 + 16 = (x^2 + 4)^2$

なので、

$x^4 + 4x^2 + 16 = (x^2 + 4)^2 - 4x^2$

となります。

ここで、$4x^2 = (2x)^2$ であることに注意すると、これは二乗の差の形になります。

すなわち、$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ を用いると、

$(x^2 + 4)^2 - (2x)^2 = (x^2 + 4 + 2x)(x^2 + 4 - 2x)$

となります。

最後に、それぞれの括弧の中を整理して

$(x^2 + 2x + 4)(x^2 - 2x + 4)$

となります。

3. 最終的な答え

$(x^2 + 2x + 4)(x^2 - 2x + 4)$