(1) 方程式 $\log_4(x+3) = \log_2 x - 1$ を解く。 (2) 方程式 $\log_4(x+k) = \log_2 x - 1$ が解を持つような実数 $k$ の範囲を求める。

1. 問題の内容

(1) 方程式 $\log_4(x+3) = \log_2 x - 1$ を解く。

(2) 方程式 $\log_4(x+k) = \log_2 x - 1$ が解を持つような実数 $k$ の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1) 方程式 $\log_4(x+3) = \log_2 x - 1$ を解く。

まず、底を2に変換する。$\log_4(x+3) = \frac{\log_2 (x+3)}{\log_2 4} = \frac{1}{2} \log_2 (x+3)$

したがって、$\frac{1}{2} \log_2 (x+3) = \log_2 x - 1$

$\log_2 (x+3) = 2\log_2 x - 2$

$\log_2 (x+3) = \log_2 x^2 - \log_2 4$

$\log_2 (x+3) = \log_2 \frac{x^2}{4}$

真数部分を比較して、$x+3 = \frac{x^2}{4}$

$4x + 12 = x^2$

$x^2 - 4x - 12 = 0$

$(x-6)(x+2) = 0$

$x = 6, -2$

ただし、対数の真数は正である必要があるため、$x > 0$かつ$x+3 > 0$を満たす必要がある。

したがって、$x=6$のみが解となる。

(2) 方程式 $\log_4(x+k) = \log_2 x - 1$ が解を持つような実数 $k$ の範囲を求める。

$\log_4(x+k) = \frac{1}{2} \log_2 (x+k)$

$\frac{1}{2} \log_2 (x+k) = \log_2 x - 1$

$\log_2 (x+k) = 2\log_2 x - 2$

$\log_2 (x+k) = \log_2 x^2 - \log_2 4$

$\log_2 (x+k) = \log_2 \frac{x^2}{4}$

真数部分を比較して、$x+k = \frac{x^2}{4}$

$4x+4k = x^2$

$x^2 - 4x - 4k = 0$

この2次方程式が$x>0$の範囲で解を持つような$k$の範囲を求める。

解の公式より、$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 16k}}{2} = 2 \pm 2\sqrt{1+k}$

$x>0$なので、$2 + 2\sqrt{1+k} > 0$は常に成立。

$2 - 2\sqrt{1+k} > 0$となる場合を考える。

$1 > \sqrt{1+k}$

$1 > 1+k$

$k < 0$

また、平方根の中身は非負なので、$1+k \geq 0$、すなわち$k \geq -1$

したがって、$-1 \leq k < 0$

さらに、$x+k>0$なので、$x>-k$である必要がある。

$x = 2 + 2\sqrt{1+k}$の場合、$2 + 2\sqrt{1+k} > -k$は常に成立する。

$x = 2 - 2\sqrt{1+k}$の場合、$2 - 2\sqrt{1+k} > -k$となる必要がある。

$2 + k > 2\sqrt{1+k}$

$(2+k)^2 > 4(1+k)$

$4 + 4k + k^2 > 4 + 4k$

$k^2 > 0$

$k \neq 0$

よって、$k>-1$かつ$k<0$より、$-1 \leq k < 0$

3. 最終的な答え

(1) $x=6$

(2) $-1 \leq k < 0$