(1) 式 $(a+b)^3 - 3ab(a+b)$ を計算しなさい。 (2) (1)の結果を利用して、式 $a^3 + b^3 + c^3 - 3abc$ を因数分解しなさい。

1. 問題の内容

(1) 式 $(a+b)^3 - 3ab(a+b)$ を計算しなさい。

(2) (1)の結果を利用して、式 $a^3 + b^3 + c^3 - 3abc$ を因数分解しなさい。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$(a+b)^3$ を展開します。

$(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$

次に、与えられた式に代入して計算します。

$(a+b)^3 - 3ab(a+b) = (a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3) - 3ab(a+b)$

$= a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 - 3a^2b - 3ab^2$

$= a^3 + b^3$

(2)

(1)の結果 $a^3 + b^3 = (a+b)^3 - 3ab(a+b)$ を利用します。

$a^3 + b^3 + c^3 - 3abc$ を変形して、

$a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a^3 + b^3) + c^3 - 3abc$

$= (a+b)^3 - 3ab(a+b) + c^3 - 3abc$

$= (a+b)^3 + c^3 - 3ab(a+b) - 3abc$

ここで、$A = a+b$ とおくと、

$A^3 + c^3 - 3abA - 3abc = (A+c)(A^2 - Ac + c^2) - 3ab(A+c)$

$= (A+c)(A^2 - Ac + c^2 - 3ab)$

$A$ を元に戻すと、

$(a+b+c)((a+b)^2 - (a+b)c + c^2 - 3ab)$

$= (a+b+c)(a^2 + 2ab + b^2 - ac - bc + c^2 - 3ab)$

$= (a+b+c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)$

3. 最終的な答え

(1) $a^3 + b^3$

(2) $(a+b+c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)$