実数 $x, y$ が不等式 $|x| + 2|y| \le 3$ (※) を満たすとき、以下の問いに答えます。 (1) 不等式 (※) で表される領域を図示します。 (2) $(x+4)^2 + (y+5)^2$ の取りうる値の範囲を求めます。

1. 問題の内容

実数 $x, y$ が不等式 $|x| + 2|y| \le 3$ (※) を満たすとき、以下の問いに答えます。

(1) 不等式 (※) で表される領域を図示します。

(2) $(x+4)^2 + (y+5)^2$ の取りうる値の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $|x| + 2|y| \le 3$ の表す領域を考えます。絶対値があるので、場合分けして考えます。

(i) $x \ge 0, y \ge 0$ のとき、 $x + 2y \le 3$ より、$y \le -\frac{1}{2}x + \frac{3}{2}$ 。

(ii) $x \ge 0, y < 0$ のとき、 $x - 2y \le 3$ より、$y \ge \frac{1}{2}x - \frac{3}{2}$ 。

(iii) $x < 0, y \ge 0$ のとき、 $-x + 2y \le 3$ より、$y \le \frac{1}{2}x + \frac{3}{2}$ 。

(iv) $x < 0, y < 0$ のとき、 $-x - 2y \le 3$ より、$y \ge -\frac{1}{2}x - \frac{3}{2}$ 。

これらの領域を図示すると、菱形になります。頂点は $(3,0), (0, \frac{3}{2}), (-3, 0), (0, -\frac{3}{2})$ です。

(2) $(x+4)^2 + (y+5)^2 = k$ とおくと、これは中心 $(-4, -5)$ 、半径 $\sqrt{k}$ の円を表します。この円が(1)で求めた領域と共有点を持つときの $k$ の範囲を求めることになります。

まず、円の中心 $(-4, -5)$ が領域 $|x| + 2|y| \le 3$ の内部にあるかどうかを確認します。$|-4| + 2|-5| = 4 + 10 = 14 > 3$ なので、中心は領域の外部にあります。

領域 $|x| + 2|y| \le 3$ の頂点と中心 $(-4, -5)$ との距離を計算します。

(i) $(3,0)$ との距離：$\sqrt{(3+4)^2 + (0+5)^2} = \sqrt{49 + 25} = \sqrt{74}$。

(ii) $(0, \frac{3}{2})$ との距離：$\sqrt{(0+4)^2 + (\frac{3}{2}+5)^2} = \sqrt{16 + (\frac{13}{2})^2} = \sqrt{16 + \frac{169}{4}} = \sqrt{\frac{64+169}{4}} = \sqrt{\frac{233}{4}}$。

(iii) $(-3,0)$ との距離：$\sqrt{(-3+4)^2 + (0+5)^2} = \sqrt{1 + 25} = \sqrt{26}$。

(iv) $(0, -\frac{3}{2})$ との距離：$\sqrt{(0+4)^2 + (-\frac{3}{2}+5)^2} = \sqrt{16 + (\frac{7}{2})^2} = \sqrt{16 + \frac{49}{4}} = \sqrt{\frac{64+49}{4}} = \sqrt{\frac{113}{4}}$。

$\sqrt{k}$ がこれらの距離の最小値以下であれば、円は領域と交わります。最小の距離は $\sqrt{26}$ なので、$k$ の最小値は $(\sqrt{26})^2 = 26$ です。

次に、$k$ の最大値を考えます。菱形の4つの辺と円が接する場合を考える必要があります。しかし、ここでは菱形の頂点との距離の最大値$\sqrt{74}$まで円を大きくすれば領域と共有点を持つことは明らかです。

したがって、$26 \le k \le 74$ となります。

3. 最終的な答え

(1) 領域は、$x \ge 0, y \ge 0$ で $y \le -\frac{1}{2}x + \frac{3}{2}$、

$x \ge 0, y < 0$ で $y \ge \frac{1}{2}x - \frac{3}{2}$、

$x < 0, y \ge 0$ で $y \le \frac{1}{2}x + \frac{3}{2}$、

$x < 0, y < 0$ で $y \ge -\frac{1}{2}x - \frac{3}{2}$ で表される菱形。頂点は $(3,0), (0, \frac{3}{2}), (-3, 0), (0, -\frac{3}{2})$ 。

(2) $26 \le (x+4)^2 + (y+5)^2 \le 74$