$2^x = 5^y = 10^z$ ($xyz \ne 0$) のとき、$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} - \frac{1}{z}$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$2^x = 5^y = 10^z$ ($xyz \ne 0$) のとき、$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} - \frac{1}{z}$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$2^x = 5^y = 10^z = k$ とおく ($k>0$)。

すると、

$2 = k^{\frac{1}{x}}$

$5 = k^{\frac{1}{y}}$

$10 = k^{\frac{1}{z}}$

ここで、$2 \times 5 = 10$ であるから、

$k^{\frac{1}{x}} \times k^{\frac{1}{y}} = k^{\frac{1}{z}}$

指数法則より、

$k^{\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} = k^{\frac{1}{z}}$

したがって、

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{z}$

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} - \frac{1}{z} = 0$

3. 最終的な答え

0