$a+b+c = a^3 + b^3 + c^3 = 1$ のとき、$a$, $b$, $c$ のうち少なくとも1つは1であることを示す問題です。

1. 問題の内容

$a+b+c = a^3 + b^3 + c^3 = 1$ のとき、$a$, $b$, $c$ のうち少なくとも1つは1であることを示す問題です。

2. 解き方の手順

与えられた条件は次の通りです。

$a + b + c = 1$

$a^3 + b^3 + c^3 = 1$

最初の式から、$a+b = 1-c$ となります。

また、2番目の式から、$a^3 + b^3 = 1 - c^3$ となります。

ここで、$a^3 + b^3$ を因数分解すると、

$a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2) = (a+b)((a+b)^2 - 3ab)$

となります。

これらを代入すると、

$(1-c)((1-c)^2 - 3ab) = 1 - c^3$

$(1-c)(1 - 2c + c^2 - 3ab) = 1 - c^3$

$1 - 2c + c^2 - 3ab - c + 2c^2 - c^3 + 3abc = 1 - c^3$

$1 - 3c + 3c^2 - c^3 - 3ab + 3abc = 1 - c^3$

$-3c + 3c^2 - 3ab + 3abc = 0$

$3(-c + c^2 - ab + abc) = 0$

$-c + c^2 - ab + abc = 0$

$c(c-1) - ab(1-c) = 0$

$c(c-1) + ab(c-1) = 0$

$(c-1)(c+ab) = 0$

よって、$c=1$ または $c = -ab$ となります。

$c=1$ のとき、$a+b+c = 1$ なので、$a+b=0$ となります。

このとき、$a=-b$となり、$a, b, c$のうち、$c=1$ です。

次に、$c=-ab$ のとき、$a+b+c = 1$ に代入すると、$a+b-ab = 1$ となります。

よって、$a+b - ab - 1 = 0$ となり、$a(1-b) - (1-b) = 0$ より、 $(a-1)(1-b) = 0$ となります。

従って、$a=1$ または $b=1$ となります。

$a=1$ のとき、$a+b+c=1$ より、$1+b+c = 1$ なので、$b+c = 0$, つまり $b = -c$ となります。

$b=1$ のとき、$a+1+c = 1$ より、$a+c = 0$, つまり $a = -c$ となります。

いずれの場合も、$a, b, c$ のうち少なくとも1つは1であることが示されました。

3. 最終的な答え

$a+b+c = a^3 + b^3 + c^3 = 1$ のとき、$a$, $b$, $c$ のうち少なくとも1つは1である。