不等式 $\log_x 2 - (\log_2 y) (\log_x y) < 4(\log_2 x - \log_2 y)$ を満たす $x$ と $y$ の組 $(x, y)$ の範囲を座標平面上に図示する問題です。

1. 問題の内容

不等式 $\log_x 2 - (\log_2 y) (\log_x y) < 4(\log_2 x - \log_2 y)$ を満たす $x$ と $y$ の組 $(x, y)$ の範囲を座標平面上に図示する問題です。

2. 解き方の手順

まず、不等式の条件を整理します。底の変換公式を用いて、すべての対数を底が2の対数に変換します。

$\log_x 2 = \frac{\log_2 2}{\log_2 x} = \frac{1}{\log_2 x}$

$\log_x y = \frac{\log_2 y}{\log_2 x}$

これらの変換を不等式に代入すると、

$\frac{1}{\log_2 x} - (\log_2 y) \frac{\log_2 y}{\log_2 x} < 4(\log_2 x - \log_2 y)$

$\frac{1}{\log_2 x} - \frac{(\log_2 y)^2}{\log_2 x} < 4\log_2 x - 4\log_2 y$

両辺に $\log_2 x$ をかけます。ここで、$\log_2 x$ の符号によって不等号の向きが変わることに注意します。

(i) $\log_2 x > 0$ つまり $x > 1$ のとき:

$1 - (\log_2 y)^2 < 4 (\log_2 x)^2 - 4 (\log_2 x) (\log_2 y)$

$4 (\log_2 x)^2 - 4 (\log_2 x) (\log_2 y) + (\log_2 y)^2 > 1$

$(2 \log_2 x - \log_2 y)^2 > 1$

$2 \log_2 x - \log_2 y > 1$ または $2 \log_2 x - \log_2 y < -1$

$\log_2 \frac{x^2}{y} > 1$ または $\log_2 \frac{x^2}{y} < -1$

$\frac{x^2}{y} > 2$ または $\frac{x^2}{y} < \frac{1}{2}$

$y < \frac{x^2}{2}$ または $y > 2x^2$

(ii) $\log_2 x < 0$ つまり $0 < x < 1$ のとき:

$1 - (\log_2 y)^2 > 4 (\log_2 x)^2 - 4 (\log_2 x) (\log_2 y)$

$(2 \log_2 x - \log_2 y)^2 < 1$

$-1 < 2 \log_2 x - \log_2 y < 1$

$-1 < \log_2 \frac{x^2}{y} < 1$

$\frac{1}{2} < \frac{x^2}{y} < 2$

$\frac{x^2}{2} < y < 2x^2$

真数条件から、$x > 0$, $x \ne 1$, $y > 0$ が必要です。

これらの条件を座標平面上に図示します。

3. 最終的な答え

$x > 1$ のとき、$0 < y < \frac{x^2}{2}$ または $y > 2x^2$

$0 < x < 1$ のとき、$\frac{x^2}{2} < y < 2x^2$