数列$\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和を $S_n$ とする。$S_n = 4a_n - 1$ で与えられ、$a_1 = \frac{8}{9}$, $a_{n+1} = \frac{10}{11}a_n$ を満たすとき、$a_n$ を求めよ。

1. 問題の内容

数列$\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和を $S_n$ とする。$S_n = 4a_n - 1$ で与えられ、$a_1 = \frac{8}{9}$, $a_{n+1} = \frac{10}{11}a_n$ を満たすとき、$a_n$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$n=1$ のとき、$S_1 = a_1$ なので、与えられた式に代入すると、

$a_1 = 4a_1 - 1$

$3a_1 = 1$

$a_1 = \frac{1}{3}$

しかし、問題文では $a_1 = \frac{8}{9}$ と与えられているので、$S_n = 4a_n - 1$ は $n \ge 2$ のとき成り立つと考える。

次に、$n \ge 2$ のとき、$S_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n = 4a_n - 1$ であり、$S_{n-1} = a_1 + a_2 + \dots + a_{n-1} = 4a_{n-1} - 1$ である。

よって、$S_n - S_{n-1} = (4a_n - 1) - (4a_{n-1} - 1)$ より、

$a_n = 4a_n - 4a_{n-1}$

$3a_n = 4a_{n-1}$

$a_n = \frac{4}{3}a_{n-1}$

この式は $n \ge 2$ で成り立つ。

したがって、数列$\{a_n\}$ は $n \ge 2$ で公比 $\frac{4}{3}$ の等比数列である。

$a_1 = \frac{8}{9}$ であるから、

$a_n = a_1 \cdot (\frac{10}{11})^{n-1}$

$a_n = \frac{8}{9}(\frac{10}{11})^{n-1}$

よって、$a_n$ を求める。

$a_1 = \frac{8}{9}$ より、

$S_n = 4a_n - 1$

$S_{n-1} = 4a_{n-1} - 1$

$a_n = S_n - S_{n-1} = (4a_n - 1) - (4a_{n-1} - 1)$

$a_n = 4a_n - 4a_{n-1}$

$3a_n = 4a_{n-1}$

$a_n = \frac{4}{3} a_{n-1}$

与えられた漸化式 $a_{n+1} = \frac{10}{11} a_n$ を用いて、

$a_n = \frac{10}{11} a_{n-1}$

これより $a_n = a_1 (\frac{10}{11})^{n-1} = \frac{8}{9}(\frac{10}{11})^{n-1}$

3. 最終的な答え

$a_n = \frac{8}{9} (\frac{10}{11})^{n-1}$