与えられた6つの二次関数について、それぞれのグラフを描く問題です。ただし、ここではグラフを描く代わりに、それぞれの頂点の座標を求めます。

1. 問題の内容

与えられた6つの二次関数について、それぞれのグラフを描く問題です。ただし、ここではグラフを描く代わりに、それぞれの頂点の座標を求めます。

2. 解き方の手順

各二次関数を平方完成し、頂点の座標を求めます。一般に、二次関数 $y = a(x-p)^2 + q$ の頂点の座標は $(p, q)$ となります。

(1) $y = \frac{1}{2}x^2 + \frac{4}{3}x + \frac{25}{18}$

$y = \frac{1}{2}(x^2 + \frac{8}{3}x) + \frac{25}{18}$

$y = \frac{1}{2}(x^2 + \frac{8}{3}x + (\frac{4}{3})^2) - \frac{1}{2}(\frac{4}{3})^2 + \frac{25}{18}$

$y = \frac{1}{2}(x + \frac{4}{3})^2 - \frac{1}{2} \cdot \frac{16}{9} + \frac{25}{18}$

$y = \frac{1}{2}(x + \frac{4}{3})^2 - \frac{8}{9} + \frac{25}{18}$

$y = \frac{1}{2}(x + \frac{4}{3})^2 + \frac{-16+25}{18}$

$y = \frac{1}{2}(x + \frac{4}{3})^2 + \frac{9}{18}$

$y = \frac{1}{2}(x + \frac{4}{3})^2 + \frac{1}{2}$

頂点の座標は $(-\frac{4}{3}, \frac{1}{2})$

(2) $y = -\frac{1}{2}x^2 + 2x - 1$

$y = -\frac{1}{2}(x^2 - 4x) - 1$

$y = -\frac{1}{2}(x^2 - 4x + 4) + \frac{1}{2} \cdot 4 - 1$

$y = -\frac{1}{2}(x - 2)^2 + 2 - 1$

$y = -\frac{1}{2}(x - 2)^2 + 1$

頂点の座標は $(2, 1)$

(3) $y = 2x^2 - 12x - 32$

$y = 2(x^2 - 6x) - 32$

$y = 2(x^2 - 6x + 9) - 2 \cdot 9 - 32$

$y = 2(x - 3)^2 - 18 - 32$

$y = 2(x - 3)^2 - 50$

頂点の座標は $(3, -50)$

(4) $y = -2x^2 - 27x - 63$

$y = -2(x^2 + \frac{27}{2}x) - 63$

$y = -2(x^2 + \frac{27}{2}x + (\frac{27}{4})^2) + 2(\frac{27}{4})^2 - 63$

$y = -2(x + \frac{27}{4})^2 + 2 \cdot \frac{729}{16} - 63$

$y = -2(x + \frac{27}{4})^2 + \frac{729}{8} - \frac{504}{8}$

$y = -2(x + \frac{27}{4})^2 + \frac{225}{8}$

頂点の座標は $(-\frac{27}{4}, \frac{225}{8})$

(5) $y = 2x^2 + 3x + \frac{7}{6}$

$y = 2(x^2 + \frac{3}{2}x) + \frac{7}{6}$

$y = 2(x^2 + \frac{3}{2}x + (\frac{3}{4})^2) - 2(\frac{3}{4})^2 + \frac{7}{6}$

$y = 2(x + \frac{3}{4})^2 - 2 \cdot \frac{9}{16} + \frac{7}{6}$

$y = 2(x + \frac{3}{4})^2 - \frac{9}{8} + \frac{7}{6}$

$y = 2(x + \frac{3}{4})^2 + \frac{-27+28}{24}$

$y = 2(x + \frac{3}{4})^2 + \frac{1}{24}$

頂点の座標は $(-\frac{3}{4}, \frac{1}{24})$

(6) $y = \frac{1}{2}x^2 - \frac{9}{2}x - 18$

$y = \frac{1}{2}(x^2 - 9x) - 18$

$y = \frac{1}{2}(x^2 - 9x + (\frac{9}{2})^2) - \frac{1}{2}(\frac{9}{2})^2 - 18$

$y = \frac{1}{2}(x - \frac{9}{2})^2 - \frac{1}{2} \cdot \frac{81}{4} - 18$

$y = \frac{1}{2}(x - \frac{9}{2})^2 - \frac{81}{8} - \frac{144}{8}$

$y = \frac{1}{2}(x - \frac{9}{2})^2 - \frac{225}{8}$

頂点の座標は $(\frac{9}{2}, -\frac{225}{8})$

3. 最終的な答え

(1) 頂点の座標: $(-\frac{4}{3}, \frac{1}{2})$

(2) 頂点の座標: $(2, 1)$

(3) 頂点の座標: $(3, -50)$

(4) 頂点の座標: $(-\frac{27}{4}, \frac{225}{8})$

(5) 頂点の座標: $(-\frac{3}{4}, \frac{1}{24})$

(6) 頂点の座標: $(\frac{9}{2}, -\frac{225}{8})$