問題は、以下の3つのグラフが与えられています。 * ① $y=ax^2$ * ② $y=4$ * ③ $y=1$ (1) $AB=8$のとき、点Bの座標と$a$の値を求め、点Cの座標と直線BCの式を求めます。 (2) (1)のとき、傾きが正の原点を通る直線④が、グラフ②、③および線分BCとそれぞれ点P、Q、Rで交わるとき、$BP:CQ=1:2$のとき、点Rの座標と三角形BPRの面積を求めます。

1. 問題の内容

問題は、以下の3つのグラフが与えられています。

* ① $y=ax^2$

* ② $y=4$

* ③ $y=1$

(1) $AB=8$のとき、点Bの座標と$a$の値を求め、点Cの座標と直線BCの式を求めます。

(2) (1)のとき、傾きが正の原点を通る直線④が、グラフ②、③および線分BCとそれぞれ点P、Q、Rで交わるとき、$BP:CQ=1:2$のとき、点Rの座標と三角形BPRの面積を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

* まず、点Aと点Bはそれぞれグラフ① $y=ax^2$とグラフ② $y=4$の交点なので、$ax^2 = 4$ という関係が成り立ちます。

したがって、$x^2 = \frac{4}{a}$ より、$x = \pm \frac{2}{\sqrt{a}}$となります。

点Aはx座標が小さい方なので、$A(-\frac{2}{\sqrt{a}}, 4)$、点Bは$B(\frac{2}{\sqrt{a}}, 4)$となります。

* $AB=8$より、$\frac{2}{\sqrt{a}} - (-\frac{2}{\sqrt{a}}) = 8$

$\frac{4}{\sqrt{a}} = 8$

$\sqrt{a} = \frac{1}{2}$

$a = \frac{1}{4}$

点Bの座標は、$B(\frac{2}{\sqrt{1/4}}, 4) = B(4, 4)$

* 次に点Cを求めます。点Cはグラフ① $y = \frac{1}{4}x^2$とグラフ③ $y = 1$の交点なので、$\frac{1}{4}x^2 = 1$

$x^2 = 4$

$x = \pm 2$

x座標が負なので、$C(-2, 1)$

* 最後に直線BCの式を求めます。$B(4, 4)$、$C(-2, 1)$を通るので、傾きは$\frac{4-1}{4-(-2)} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

よって、$y = \frac{1}{2}x + b$とおき、$C(-2, 1)$を代入すると、$1 = \frac{1}{2}(-2) + b$

$1 = -1 + b$

$b = 2$

したがって、直線BCの式は、$y = \frac{1}{2}x + 2$

(2)

* (1)より、$a = \frac{1}{4}$、直線BCの式は$y = \frac{1}{2}x + 2$です。直線④の式を$y = kx$ ($k>0$)とします。

* 点Pは直線④とグラフ②の交点なので、$kx = 4$、$x = \frac{4}{k}$。したがって、$P(\frac{4}{k}, 4)$

* 点Qは直線④とグラフ③の交点なので、$kx = 1$、$x = \frac{1}{k}$。したがって、$Q(\frac{1}{k}, 1)$

* 点Rは直線④と直線BCの交点なので、$kx = \frac{1}{2}x + 2$、$(k - \frac{1}{2})x = 2$、$x = \frac{2}{k - \frac{1}{2}} = \frac{4}{2k-1}$。したがって、$R(\frac{4}{2k-1}, \frac{4k}{2k-1})$

* $BP:CQ = 1:2$より、$BP = |\frac{4}{k} - 4|$、$CQ = |\frac{1}{k} - (-2)| = |\frac{1}{k} + 2|$

したがって、$|\frac{4}{k} - 4| : |\frac{1}{k} + 2| = 1:2$

$2|\frac{4}{k} - 4| = |\frac{1}{k} + 2|$

場合分けが必要です。

1. $\frac{4}{k} \ge 4$ かつ $\frac{1}{k} + 2 \ge 0$の場合: $2(\frac{4}{k} - 4) = \frac{1}{k} + 2$、$ \frac{8}{k} - 8 = \frac{1}{k} + 2$、$\frac{7}{k} = 10$、$k = \frac{7}{10}$。

$\frac{4}{7/10} \ge 4$ かつ $\frac{1}{7/10} + 2 \ge 0$を確認: $\frac{40}{7} \ge 4$ (成立)、$\frac{10}{7} + 2 = \frac{24}{7} \ge 0$ (成立)

2. $\frac{4}{k} < 4$ かつ $\frac{1}{k} + 2 \ge 0$の場合: $2(4 - \frac{4}{k}) = \frac{1}{k} + 2$、$8 - \frac{8}{k} = \frac{1}{k} + 2$、$6 = \frac{9}{k}$、$k = \frac{3}{2}$。

$\frac{4}{3/2} < 4$ かつ $\frac{1}{3/2} + 2 \ge 0$を確認: $\frac{8}{3} < 4$ (成立)、$\frac{2}{3} + 2 = \frac{8}{3} \ge 0$ (成立)

3. $\frac{4}{k} \ge 4$ かつ $\frac{1}{k} + 2 < 0$の場合: $2(\frac{4}{k} - 4) = -(\frac{1}{k} + 2)$、$\frac{8}{k} - 8 = -\frac{1}{k} - 2$、$\frac{9}{k} = 6$、$k = \frac{3}{2}$。矛盾。

4. $\frac{4}{k} < 4$ かつ $\frac{1}{k} + 2 < 0$の場合: $2(4 - \frac{4}{k}) = -(\frac{1}{k} + 2)$、$8 - \frac{8}{k} = -\frac{1}{k} - 2$、$10 = \frac{7}{k}$、$k = \frac{7}{10}$。矛盾。

したがって、$k = \frac{7}{10}$ または $k = \frac{3}{2}$。問題文より傾きが正なので、どちらも条件を満たします。

図の状況から、$k = \frac{3}{2}$が適切と考えられます。

* $R(\frac{4}{2k-1}, \frac{4k}{2k-1})$に$k = \frac{3}{2}$を代入すると、$R(\frac{4}{2(\frac{3}{2})-1}, \frac{4(\frac{3}{2})}{2(\frac{3}{2})-1}) = R(\frac{4}{2}, \frac{6}{2}) = R(2, 3)$

* 最後に三角形BPRの面積を求めます。$B(4, 4)$, $P(\frac{4}{k}, 4) = P(\frac{4}{3/2}, 4) = P(\frac{8}{3}, 4)$, $R(2, 3)$

$BP = 4 - \frac{8}{3} = \frac{4}{3}$

RからBPへの垂線の長さは$4 - 3 = 1$

したがって、三角形BPRの面積は$\frac{1}{2} \times \frac{4}{3} \times 1 = \frac{2}{3}$

3. 最終的な答え

(1) 点Bの座標: (4, 4)、$a = \frac{1}{4}$

点Cの座標: (-2, 1)

直線BCの式: $y = \frac{1}{2}x + 2$

(2) 点Rの座標: (2, 3)

三角形BPRの面積: $\frac{2}{3}$