与えられた数列の和を求める問題です。数列は $1 \cdot (n-1)^2 + 2 \cdot (n-2)^2 + 3 \cdot (n-3)^2 + \dots + (n-2) \cdot 2^2 + (n-1) \cdot 1^2$ で定義されており、$n \ge 2$ という条件がついています。

1. 問題の内容

与えられた数列の和を求める問題です。数列は $1 \cdot (n-1)^2 + 2 \cdot (n-2)^2 + 3 \cdot (n-3)^2 + \dots + (n-2) \cdot 2^2 + (n-1) \cdot 1^2$ で定義されており、$n \ge 2$ という条件がついています。

2. 解き方の手順

数列の一般項を $a_k = k(n-k)^2$ とすると、求める和は $\sum_{k=1}^{n-1} a_k = \sum_{k=1}^{n-1} k(n-k)^2$ と表せます。

この式を展開して整理します。

$\sum_{k=1}^{n-1} k(n-k)^2 = \sum_{k=1}^{n-1} k(n^2 - 2nk + k^2) = \sum_{k=1}^{n-1} (n^2k - 2nk^2 + k^3)$

$\sum_{k=1}^{n-1} n^2 k = n^2 \sum_{k=1}^{n-1} k = n^2 \frac{(n-1)n}{2} = \frac{n^3(n-1)}{2}$

$\sum_{k=1}^{n-1} 2n k^2 = 2n \sum_{k=1}^{n-1} k^2 = 2n \frac{(n-1)n(2n-1)}{6} = \frac{n^2(n-1)(2n-1)}{3}$

$\sum_{k=1}^{n-1} k^3 = \left( \frac{(n-1)n}{2} \right)^2 = \frac{n^2(n-1)^2}{4}$

したがって、

$\sum_{k=1}^{n-1} k(n-k)^2 = \frac{n^3(n-1)}{2} - \frac{n^2(n-1)(2n-1)}{3} + \frac{n^2(n-1)^2}{4}$

$= \frac{6n^3(n-1) - 4n^2(n-1)(2n-1) + 3n^2(n-1)^2}{12}$

$= \frac{n^2(n-1) [6n - 4(2n-1) + 3(n-1)]}{12}$

$= \frac{n^2(n-1) [6n - 8n + 4 + 3n - 3]}{12}$

$= \frac{n^2(n-1) (n+1)}{12}$

$= \frac{n^2(n^2-1)}{12}$

$= \frac{n^4 - n^2}{12}$

3. 最終的な答え

$\frac{n^2(n^2-1)}{12} = \frac{n^4 - n^2}{12}$