半径 $r$ の円が $x$ 軸と $y$ 軸に接し、かつ円 $(x-16)^2 + (y-9)^2 = 81$ に外接している。このとき、$r$ のとりうる値をすべて求めよ。

1. 問題の内容

半径 $r$ の円が $x$ 軸と $y$ 軸に接し、かつ円 $(x-16)^2 + (y-9)^2 = 81$ に外接している。このとき、$r$ のとりうる値をすべて求めよ。

2. 解き方の手順

$x$ 軸と $y$ 軸に接する円の中心は $(r, r)$ または $(-r, r)$ または $(r, -r)$ または $(-r, -r)$ となる。ここでは、円が第一象限にある場合を考える。

円 $(x-16)^2 + (y-9)^2 = 81$ の中心は $(16, 9)$ であり、半径は $9$ である。

2つの円が外接するとき、中心間の距離は半径の和に等しい。したがって、

$\sqrt{(r-16)^2 + (r-9)^2} = r + 9$

両辺を2乗すると、

$(r-16)^2 + (r-9)^2 = (r+9)^2$

$r^2 - 32r + 256 + r^2 - 18r + 81 = r^2 + 18r + 81$

$r^2 - 68r + 256 = 0$

この2次方程式を解くと、

$r = \frac{68 \pm \sqrt{68^2 - 4 \cdot 256}}{2} = \frac{68 \pm \sqrt{4624 - 1024}}{2} = \frac{68 \pm \sqrt{3600}}{2} = \frac{68 \pm 60}{2}$

$r = \frac{68+60}{2} = \frac{128}{2} = 64$

$r = \frac{68-60}{2} = \frac{8}{2} = 4$

円が他の象限にある場合、円の中心は $(-r, r), (r, -r), (-r, -r)$ となる可能性がある。

しかし、$x$ 軸と $y$ 軸に接し、かつ円 $(x-16)^2+(y-9)^2 = 81$ に外接する円は、第一象限に存在する必要がある。なぜなら、$x$軸、$y$軸に接する円が第二象限、第三象限、第四象限にある場合、必ず $(x-16)^2+(y-9)^2=81$ の円と交わるからである。

3. 最終的な答え

$r = 4, 64$