直角三角形ABCにおいて、$\angle{B} = 30^\circ$, $c = 2$, $a = \sqrt{3}$ であるとき、$b$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

直角三角形ABCにおいて、$\angle{B} = 30^\circ$, $c = 2$, $a = \sqrt{3}$ であるとき、$b$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

$\angle{C} = 90^\circ$ の直角三角形において、$\angle{B} = 30^\circ$ であることから、三角比を用いることができる。

$a = \sqrt{3}$ は $\angle{B}$ に対する対辺、$b$ は $\angle{B}$ に対する隣辺、$c = 2$ は斜辺である。

$\sin B = \frac{a}{c}$, $\cos B = \frac{b}{c}$, $\tan B = \frac{a}{b}$ が成り立つ。

$\cos B = \frac{b}{c}$ より、

$\cos 30^\circ = \frac{b}{2}$

$b = 2 \cos 30^\circ$

$\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ より、

$b = 2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$

また、ピタゴラスの定理より

$a^2 + b^2 = c^2$

$(\sqrt{3})^2 + b^2 = 2^2$

$3 + b^2 = 4$

$b^2 = 1$

$b = 1$

$\tan B = \frac{a}{b}$ より、

$\tan 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{b}$

$b = \frac{\sqrt{3}}{\tan 30^\circ}$

$\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}$ より

$b = \frac{\sqrt{3}}{\frac{1}{\sqrt{3}}} = \sqrt{3} \times \sqrt{3} = 3$

sin, cos, tanの値を間違っていたようです.

30°, 60°, 90° の三角形は、$1:\sqrt{3}:2$ の比になることを利用します。$a=\sqrt{3}$, $c=2$なので$b=1$となります。

3. 最終的な答え

$b = 1$