三角形が与えられており、辺の長さ $a = \sqrt{3}$, $b = 2$, 間の角 $C = 150^\circ$ がわかっている。このとき、辺 $c$ の長さを求めよ。

1. 問題の内容

三角形が与えられており、辺の長さ $a = \sqrt{3}$, $b = 2$, 間の角 $C = 150^\circ$ がわかっている。このとき、辺 $c$ の長さを求めよ。

2. 解き方の手順

余弦定理を用いて $c$ を求める。余弦定理は、三角形ABCにおいて、

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$

で与えられる。

この問題では、$a = \sqrt{3}$, $b = 2$, $C = 150^\circ$ なので、これらを代入して計算する。

$\cos 150^\circ = \cos (180^\circ - 30^\circ) = -\cos 30^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ である。

したがって、

$c^2 = (\sqrt{3})^2 + 2^2 - 2 (\sqrt{3}) (2) (-\frac{\sqrt{3}}{2})$

$c^2 = 3 + 4 + 6 = 13$

$c = \sqrt{13}$

3. 最終的な答え

$\sqrt{13}$