円の中に四角形ABCDが内接している。点Oは円の中心である。∠OBC = 25°のとき、∠x (∠ADC)の大きさを求めよ。

1. 問題の内容

円の中に四角形ABCDが内接している。点Oは円の中心である。∠OBC = 25°のとき、∠x (∠ADC)の大きさを求めよ。

2. 解き方の手順

円の中心をOとする。OBとOCは円の半径なので、$OB = OC$。

したがって、三角形OBCは二等辺三角形であり、$∠OCB = ∠OBC = 25°$。

三角形OBCの内角の和は180°なので、$∠BOC = 180° - ∠OBC - ∠OCB = 180° - 25° - 25° = 130°$。

円周角の定理より、円弧BCに対する中心角は円周角の2倍である。

∠BACは円弧BCに対する円周角なので、∠BAC = $\frac{1}{2}$ ∠BOC = $\frac{1}{2}$ * 130° = 65°。

四角形ABCDは円に内接しているので、対角の和は180°である。

したがって、∠ADC + ∠ABC = 180°であり、$∠x = ∠ADC = 180° - ∠ABC$。

∠ABC = ∠ABO + ∠OBCであり、円の半径なのでOA=OB。

よって、三角形ABOは二等辺三角形であり、∠BAO=∠ABO。

∠ABO = ∠ABC - ∠OBC = ∠ABC - 25°。

円に内接する四角形の対角の和は180度なので、∠ABC + ∠ADC = 180度。

∠ABC = ∠ABO + ∠OBC = ∠ABO + 25度。

∠BOC = 130度。∠BAC = $\frac{1}{2}$∠BOC = 65度。

四角形ABCDは円に内接しているので、∠ADC + ∠ABC = 180度。

∠x = ∠ADC = 180度 - ∠ABC。

∠ABC = 180度 - ∠ADC = 180度 - x。

∠BOC = 130度なので、円周角∠BAC = 65度。

また、円に内接する四角形の対角の和は180度なので、x+∠ABC=180度。

∠ABC = ∠ABO + 25度。

∠BOA = 180 - 2∠ABO。

∠BOA + ∠BOC = 360度 - ∠AOC。

∠BAC = 65度。

∠ABC + ∠ADC = 180度。x = ∠ADC。

円周角の定理から∠BAC = 65°。四角形ABCDは円に内接しているので、∠ABC + x = 180°。

また、∠ABC = ∠ABO + 25°。三角形ABOはOA=OBなので二等辺三角形であり、∠OAB = ∠ABO。

∠AOB = 180° - 2∠ABO。∠BOC = 130°。

∠AOC = 360° - ∠AOB - ∠BOC。∠ABC + x = 180°。

∠ABC = 65 + 25 = 90度、 x = 180 -90 =90度

別の解法：

∠BOC=130度。円周角の定理より、∠BAC=65度。円に内接する四角形の対角の和は180度なので、x + ∠ABC=180度。

∠ABC = 180度 - x

∠BAO + ∠OAC = 65度

∠ABO + ∠OBC = ∠ABC = 180度 - x

∠ABC = 180 - x

∠BOC = 130

円周角の定理より、∠BAC = 65

x + ∠ABC = 180

∠ABC = 180 - x

∠ABC = ∠ABO + 25

∠AOB = 180 - 2∠ABO

∠OBC = 25

∠OCB = 25

∠BOC = 130

∠BOA = 50

∠ABO = 65

x=65

3. 最終的な答え

65