関数 $y=ax^2$ について、xの変域が $-4 \le x \le 3$ であるとき、yの変域が $b \le y \le 24$ である。このとき、$a$ と $b$ の値を求める。

1. 問題の内容

関数 $y=ax^2$ について、xの変域が $-4 \le x \le 3$ であるとき、yの変域が $b \le y \le 24$ である。このとき、$a$ と $b$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$y=ax^2$ のグラフの概形を考える。

xの変域 $-4 \le x \le 3$ において、yの最大値が24であることから、$a>0$ とわかる。

なぜなら、$a<0$ だと、$x=0$ でyは最大値0を取り、条件の $b \le y \le 24$ に矛盾するからである。

yの最大値は、xの変域 $-4 \le x \le 3$ の端点のいずれかでとる。

$x=-4$ のとき、$y=a(-4)^2=16a$

$x=3$ のとき、$y=a(3)^2=9a$

$16a=24$より、$a=24/16=3/2$ となる。

このとき、$9a=9 \times (3/2) = 27/2$ となるが、これは$y=24$ に矛盾するので、$16a$の方が大きい。

よって、

$16a=24$

$a = \frac{24}{16} = \frac{3}{2}$

次に、$b$ の値を求める。$a>0$ なので、$x=0$ のときyは最小値0をとる。したがって、$b=0$となる。

3. 最終的な答え

$a = \frac{3}{2}$

$b = 0$