関数 $y=ax^2$ について、以下の2つの条件を満たすときの $a$ の値を求めます。 (1) グラフが点 $(8, -16)$ を通る。 (2) $x$ の値が $-4$ から $2$ まで増加するときの変化の割合が $-6$。

1. 問題の内容

関数 $y=ax^2$ について、以下の2つの条件を満たすときの $a$ の値を求めます。

(1) グラフが点 $(8, -16)$ を通る。

(2) $x$ の値が $-4$ から $2$ まで増加するときの変化の割合が $-6$。

2. 解き方の手順

(1) グラフが点 $(8, -16)$ を通る場合

点 $(8, -16)$ を $y=ax^2$ に代入します。

$-16 = a(8)^2$

$-16 = 64a$

$a = \frac{-16}{64}$

$a = -\frac{1}{4}$

(2) $x$ の値が $-4$ から $2$ まで増加するときの変化の割合が $-6$ の場合

変化の割合は、$\frac{yの増加量}{xの増加量}$ で計算されます。

$x$ の増加量は $2 - (-4) = 6$ です。

$x=-4$ のとき、$y = a(-4)^2 = 16a$

$x=2$ のとき、$y = a(2)^2 = 4a$

$y$ の増加量は $4a - 16a = -12a$ です。

変化の割合は $\frac{-12a}{6} = -2a$ です。

問題文より、変化の割合は $-6$ なので、

$-2a = -6$

$a = \frac{-6}{-2}$

$a = 3$

3. 最終的な答え

(1) $a = -\frac{1}{4}$

(2) $a = 3$