直線 $y = 2x + k$ が放物線 $y = 3x - x^2$ と異なる2点P, Qで交わるとき、次の問題を解きます。 (1) 定数 $k$ の値の範囲を求め、線分PQの中点Mの座標を$k$で表します。 (2) $k$の値が変化するとき、線分PQの中点Mの軌跡を求めます。

1. 問題の内容

直線 $y = 2x + k$ が放物線 $y = 3x - x^2$ と異なる2点P, Qで交わるとき、次の問題を解きます。

(1) 定数 $k$ の値の範囲を求め、線分PQの中点Mの座標を$k$で表します。

(2) $k$の値が変化するとき、線分PQの中点Mの軌跡を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

まず、直線と放物線の交点を求めます。

$2x + k = 3x - x^2$

$x^2 - x + k = 0$

この二次方程式が異なる2つの実数解を持つための条件は、判別式 $D > 0$ であることです。

$D = (-1)^2 - 4(1)(k) = 1 - 4k > 0$

$4k < 1$

$k < \frac{1}{4}$

次に、交点P, Qの$x$座標をそれぞれ$x_1, x_2$とします。$x_1, x_2$は二次方程式$x^2 - x + k = 0$の解なので、解と係数の関係より、

$x_1 + x_2 = 1$

中点Mの$x$座標を$x_M$とすると、

$x_M = \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{1}{2}$

中点Mは直線$y = 2x + k$上にあるので、Mの$y$座標を$y_M$とすると、

$y_M = 2x_M + k = 2 \cdot \frac{1}{2} + k = 1 + k$

したがって、中点Mの座標は$(\frac{1}{2}, 1+k)$となります。

(2)

中点Mの座標を$(x, y)$とすると、$x = \frac{1}{2}, y = 1 + k$です。$k < \frac{1}{4}$より、

$y = 1 + k < 1 + \frac{1}{4} = \frac{5}{4}$

したがって、中点Mの軌跡は、点$(\frac{1}{2}, y)$で、$y < \frac{5}{4}$を満たす範囲となります。

3. 最終的な答え

(1) $k$の値の範囲：$k < \frac{1}{4}$

線分PQの中点Mの座標：$(\frac{1}{2}, 1+k)$

(2) 線分PQの中点Mの軌跡：直線$x = \frac{1}{2}$の$y < \frac{5}{4}$の部分