定積分 $\int_{-3}^{-1} (-3x^2 + 4x + 3) dx$ を計算してください。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{-3}^{-1} (-3x^2 + 4x + 3) dx$ を計算してください。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数 $-3x^2 + 4x + 3$ の不定積分を求めます。

$\int (-3x^2 + 4x + 3) dx = -3 \int x^2 dx + 4 \int x dx + 3 \int dx$

$= -3 \cdot \frac{x^3}{3} + 4 \cdot \frac{x^2}{2} + 3x + C$

$= -x^3 + 2x^2 + 3x + C$

ここで、$C$ は積分定数です。

次に、定積分を計算します。

$\int_{-3}^{-1} (-3x^2 + 4x + 3) dx = [-x^3 + 2x^2 + 3x]_{-3}^{-1}$

$= (-(-1)^3 + 2(-1)^2 + 3(-1)) - (-(-3)^3 + 2(-3)^2 + 3(-3))$

$= (1 + 2 - 3) - (27 + 18 - 9)$

$= 0 - 36$

$= -36$

3. 最終的な答え

-36