定積分 $\int_{1}^{4} (12x + 6) \, dx$ を計算してください。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{1}^{4} (12x + 6) \, dx$ を計算してください。

2. 解き方の手順

まず、積分の中の関数 $12x+6$ の不定積分を求めます。

$12x$ の不定積分は $12 \cdot \frac{x^2}{2} = 6x^2$ です。

$6$ の不定積分は $6x$ です。

したがって、$12x+6$ の不定積分は $6x^2 + 6x + C$ となります（ここで、$C$ は積分定数）。

次に、定積分の定義に従って、積分区間の上限と下限を不定積分に代入し、その差を計算します。

積分区間の上限は $4$、下限は $1$ です。

上限 $4$ を代入すると、 $6(4^2) + 6(4) = 6(16) + 24 = 96 + 24 = 120$ となります。

下限 $1$ を代入すると、 $6(1^2) + 6(1) = 6 + 6 = 12$ となります。

最後に、上限を代入した値から下限を代入した値を引きます。

$120 - 12 = 108$

3. 最終的な答え

108